Процесс увеличения денег в связи с присоединением процентов к сумме долга называют наращением.

Под наращенной суммой ссуды (долга, депозита и т.д.) понимается ее первоначальная сумма вместе с начисленными на нее процентами к концу срока.

Процесс изменения суммы долга с начисленными простыми процентами можно представить в виде арифметической прогрессии, членами которой являются величины

Р ; P + Pi = P (1 + i ); Р (1 + i ) + Pi = P(1+ 2i ) и т. д. до Р (1 + ni ).

Первый член этой прогрессии равен Р , разность - Pi, тогда последний член является наращенной суммой

S = P (1 + ni ),

где S – наращенная сумма денег;

Р - первоначальная сумма денег,

i - ставка простых процентов;

Pi - начисленные проценты за один период;

n – число периодов начисления процентов;

Pni – начисленные проценты за п периодов.

Данная формула является формулой наращения по простым процентам, или формулой простых процентов.

Множитель (1 + ni ) называется множителем наращения.Он показывает во сколько раз наращенная сумма больше первоначальной суммы.

Наращенную сумму можно представить в виде двух слагаемых: первоначальной суммы и суммы процентов

S = P + I ,

где I = Pni – сумма процентов.

Начисление простых процентов обычно используется в двух случаях:

1) при заключении краткосрочных контрактов (предоставлении краткосрочных кредитов и т.п.), срок которых не превышает одного года;

2) когда проценты не присоединяются к сумме долга, а выплачиваются периодически.

Ставка процентов обычно устанавливается в расчете на год, поэтому при продолжительности операции менее года необходимо выяснить, какая часть процентов уплачивается кредитору. Для этого величину п выражают в виде дроби

где п - срок финансовой операции в долях года;

Y - число дней или месяцев в году (временная база) (англ. Year – год);

t - срок операции (ссуды) в днях или месяцах (англ. time – время).

В этом случае наращенная сумма вычисляется по формуле:

Возможно несколько вариантов расчета процентов, различающихся выбором временной базы Y и способом измерения срока финансовой операции.

Часто за базу измерения времени берут год, условно состоящий из 360 дней (12 месяцев по 30 дней в каждом). В этом случае говорят, что вычисляют обыкновенный, или коммерческий процент.В отличие от него точный процентполучают, когда за базу берут действительное число дней в году: 365 или 366, если год високосный.

Определение числа дней финансовой операции также может быть точным или приближенным. В первом случае вычисляют фактическое число дней между двумя датами, во втором - продолжительность финансовой операции определяется числом месяцев и дней операции, приближенно считая все месяцы равными и содержащими по 30 дней. В обоих случаях дата начала и дата окончания операции считается за один день.

Подсчет точного числа дней между двумя датами можно осуществить, взяв разность этих дат, или с помощью специальной таблицы, в которой представлены порядковые номера дат в году (прил. 2, 3).

Различные варианты временной базы и методов подсчета дней финансовой операции приводят к следующим схемам расчета процентов, применяемых на практике:

Точные проценты с точным числом дней ссуды (британская схема 365/365, когда в году считается 365 дней, полугодие приравнивается к 182 дням и длительность месяцев точная);

Обыкновенные проценты с точным числом дней ссуды (французская схема 365/360, в году принимается 360 дней и точная длительность месяцев);

Обыкновенные проценты с приближенным числом дней ссуды (германская схема 360/360, считается, что в году 360 дней и 30 дней в каждом месяце).

Поскольку точное число дней ссуды в большинстве случаев больше приближенного, то величина процентов с точным числом дней обычно больше, чем с приближенным.

Вариант расчета с точными процентами и приближенным измерением времени ссуды не применяется.

Точное и приближенное число дней для обыкновенных процентов связаны следующими зависимостями:

i 360 = 0,986301 · i 365 ; i 365 = 1,013889 · i 360 .

Процентные ставки не остаются неизменными во времени, в кредитных соглашениях иногда предусматриваются дискретно изменяющиеся процентные ставки. В этом случае формула расчета наращенной суммы принимает следующий вид:

где i t - ставка простых процентов в периоде с номером t , t = 1,…, k ;

п t - продолжительность t периода начисления по ставке i t , i = 1,…, k.

Сумма депозита, полученная в конце обозначенного периода вместе с начисленными на нее процентами, может быть вновь инвестирована под эту или другую процентную ставку. Процесс реинвестирования иногда повторяется неоднократно в пределах расчетного срока N. В случае многократного инвестирования в краткосрочные депозиты и применения простой процентной ставки наращенная сумма для всего срока N находится по формуле

где п 1 , п 2 , п t - продолжительности последовательных периодов реинвестирования

где i 1 , i 2 , …, i t - ставки, по которым производится реинвестирование.

При обслуживании текущих счетов банки сталкиваются с непрерывной цепью поступлений и расходований средств, а также с необходимостью начисления процентов на постоянно меняющуюся сумму. В банковской практике в этой ситуации используется правило – общая начисленная за весь срок сумма процентов равна сумме процентов, начисленных на каждую из постоянных на некотором отрезке времени сумм. Это касается дебетовой и кредитовой части счета. Разница состоит только в том, что кредитовые проценты вычитаются.

Для начисления процентов на такие постоянные суммы используют процентные числа:

Процентные числа по каждой постоянной сумме складываются и делятся на девизор:

Следовательно, вся абсолютная сумма начисленных процентов рассчитывается следующим образом:

Вычисление ставки доходности краткосрочных финансовых операций в виде ставки простых процентов осуществляется по формуле:

На практике часто необходимо решать задачу, обратную наращению процентов, когда по заданной наращенной сумме, соответствующей окончанию финансовой операции, требуется найти исходную сумму. Такой расчет называют дисконтированиемнаращенной суммы.

Величина, найденная путем дисконтирования, называется современной величиной, или текущей стоимостью, наращенной суммы.

В большинстве случаев фактор времени учитывается в финансовых контрактах именно с помощью дисконтирования. Современная величина денежных средств эквивалентна наращенной суммев том смысле, что через определенный период времени и при заданной ставке процентов она в результате наращения станет равной наращенной сумме. Поэтому операцию дисконтирования называют также приведением.

Привести стоимость денег можно к любому нужному моменту времени, не обязательно к началу финансовой операции.

Существует два вида дисконтирования:

1. Математическое дисконтирование, которое представляет собой решение задачи, обратной наращению первоначальной ссуды. Если в прямой задаче S = P (1 + ni ), то в обратной

Выражение 1/(1 + ni ) называют дисконтным множителем.Он показывает, какую долю составляет первоначальная сумма денег в окончательной величине долга.

Дисконт наращенной суммыравен

D = S - Р ,

где D – дисконт.

2. Банковский (коммерческий) учет. Операция учета, в том числе учета векселей, заключается в том, что банк до наступления срока платежа по векселю или другому платежному обязательству покупает его у владельца (являющегося кредитором) по цене ниже той суммы, которая должна быть выплачена по нему в конце срока, т.е. приобретает (учитывает) его с дисконтом.

В этом случае современная величина денежных средств находится

P =S (1 - nd ),

где d – учетная процентная ставка.

Множитель (1 - nd ) называется дисконтным множителем.

Размер дисконта или учета, удерживаемого банком, равен

D = Snd .

Простая годовая учетная ставка находится

Дисконтирование по учетной ставке проводится в большинстве случаев при условии, что год равен 360 дням.

Частным случаем является процесс банковского учета, когда срок операции выражен в днях или месяцах:

Учетная ставка может использоваться для наращения:

Операции наращения и дисконтирования противоположны, но они могут использоваться для решения обеих задач. В этом случае в зависимости от применяемой ставки можно различать прямую и обратную задачи (таблица 2.1).

Таблица 2.1 - Прямая и обратная задачи

В условиях рыночной экономики любое взаимодействие лиц, фирм и предприятий с целью получения прибыли называется сделкой. При кредитных сделках прибыль представляет собой величину дохода от предоставления денежных средств в долг, что на практике реализуется за счет начисления процентов (процентной ставки – i). Проценты зависят от величины предоставляемой суммы, срока ссуды, условий начисления и т. д.

Важнейшее место в финансовых сделках занимает фактор времени (t). С временным фактором связан принцип неравноценности и неэквивалентности вложений. Для того чтобы определить изменения, происходящие с исходной суммой денежных средств (P), необходимо рассчитать величину дохода от предоставления денег в ссуду, вложения их в виде вклада (депозита), инвестированием их в ценные бумаги и т. д.

Процесс увеличения суммы денег в связи с начислением процентов (i) называют наращением, или ростом первоначальной суммы (P). Таким образом, изменение первоначальной стоимости под влиянием двух факторов: процентной ставки и времени называется наращенной стоимостью (S).

Наращенная стоимость может определяться по схеме простых и сложных процентов. Простые проценты используются в случае, когда наращенная сумма определяется по отношению к неизменной базе, то есть начисленные проценты погашаются (выплачиваются) сразу после начисления (таким образом, первоначальная сумма не меняется); в случае, когда исходная сумма (первоначальная) меняется во временном интервале, имеют дело со сложными процентами.

При начислении простых процентов наращенная сумма определяется по формуле

S = P (1 + i t), (1)

где S – наращенная сумма (стоимость), руб.; P – первоначальная сумма (стоимость), руб.; i – процентная ставка, выраженная в коэффициенте; t – период начисления процентов.

S = 10 000 (1+ 0,13 · 1) = 11 300, руб. (сумма погашения кредита);

ΔР = 11 300 – 10 000 = 1 300, руб. (сумма начисленных процентов).

Определить сумму погашения долга при условии ежегодной выплаты процентов, если банком выдана ссуда в сумме 50 000 руб. на 2 года, при ставке – 16 % годовых.

S = 50 000 (1+ 0,16 · 2) = 66 000, руб.

Таким образом, начисление простых процентов осуществляется в случае, когда начисленные проценты не накапливаются на сумму основного долга, а периодически выплачиваются, например, раз в год, полугодие, в квартал, в месяц и т. д., что определяется условиями кредитного договора. Также на практике встречаются случаи, когда расчеты производятся за более короткие периоды, в частности на однодневной основе.

В случае, когда срок ссуды (вклада и т. д.) менее одного года, в расчетах необходимо скорректировать заданную процентную ставку в зависимости от временного интервала. Например, можно представить период начисления процентов (t) в виде отношения , где q – число дней (месяцев, кварталов, полугодий и т. д.) ссуды; k – число дней (месяцев, кварталов, полугодий и т. д.) в году.

Таким образом, формула (1) изменяется и имеет следующий вид:

S = P (1 + i ). (2)

Банк принимает вклады на срочный депозит на срок 3 месяца под 11 % годовых. Рассчитать доход клиента при вложении 100 000 руб. на указанный срок.

S = 100 000 (1+ 0,11 · ) = 102 749,9, руб.;

ΔР = 102 749,9 – 100 000 = 2 749,9, руб.

В зависимости от количества дней в году возможны различные варианты расчетов. В случае, когда за базу измерения времени берут год, условно состоящий из 360 дней (12 месяцев по 30 дней), исчисляют обыкновенные, или коммерческие проценты. Когда за базу берут действительное число дней в году (365 или 366 – в високосном году), говорят о точных процентах.

При определении числа дней пользования ссудой также применяется два подхода: точный и обыкновенный. В первом случае подсчитывается фактическое число дней между двумя датами, во втором – месяц принимается равным 30 дням. Как в первом, так и во втором случае, день выдачи и день погашения считаются за один день. Также существуют случаи, когда в исчислении применяется количество расчетных или рабочих банковских дней, число которых в месяц составляет 24 дня.

Таким образом, выделяют четыре варианта расчета:

1) обыкновенные проценты с точным числом дней ссуды;

2) обыкновенные проценты с приближенным числом дней ссуды;

3) точные проценты с приближенным числом дней ссуды;

4) точные проценты с банковским числом рабочих дней.

При этом необходимо учесть, что на практике день выдачи и день погашения ссуды (депозита) принимают за один день.

Ссуда выдана в размере 20 000 руб. на срок с 10.01.06 до 15.06.06 под 14 % годовых. Определить сумму погашения ссуды.

1. Обыкновенные проценты с точным числом дней ссуды:

156=21+28+31+30+31+15;

S = 20 000 (1+0,14 · ) =21 213,3, руб.

2. Обыкновенные проценты с приближенным числом дней ссуды:

S = 20 000 (1+0,14 · ) =21 205,6, руб.

3. Точные проценты с приближенным числом дней ссуды:

S = 20 000 (1+0,14 · ) =21 189,0, руб.

4. Точные проценты с банковским числом рабочих дней:

S = 20 000 (1+0,14 · ) =21 516,7, руб.

Данные для расчета количества дней в периоде представлены в прил. 1, 2.

Как сказано выше, кроме начисления простых процентов применяется сложное начисление, при котором проценты начисляются несколько раз за период и не выплачиваются, а накапливаются на сумму основного долга. Этот механизм особенно эффективен при среднесрочных и долгосрочных кредитах.

После первого года (периода) наращенная сумма определяется по формуле (1), где i будет являться годовой ставкой сложных процентов. После двух лет (периодов) наращенная сумма S 2 составит:

S 2 = S 1 (1 + it) = P (1 + it) · (1 + it) = P (1 + it) 2 .

Таким образом, при начислении сложных процентов (после n лет (периодов) наращения) наращенная сумма определяется по формуле

S = P (1 + i t) n , (3)

где i – ставка сложных процентов, выраженная в коэффициенте; n – число начислений сложных процентов за весь период.

Коэффициент наращения в данном случае рассчитывается по формуле

Кн = (1 + i t) n , (4)

где Кн – коэффициент наращения первоначальной стоимости, ед.

Вкладчик имеет возможность поместить денежные средства в размере 75 000 руб. на депозит в коммерческий банк на 3 года под 10 % годовых.

Определить сумму начисленных процентов к концу срока вклада, при начислении сложных процентов.

S = 75 000 (1+ 0,1 · 1) 3 = 99 825, руб.

ΔР = 24 825, руб.

Таким образом, коэффициент наращения составит:

Кн = (1+ 0,1 · 1) 3 = 1,331

Следовательно, коэффициент наращения показывает, во сколько раз увеличилась первоначальная сумма при заданных условиях.

Доля расчетов с использованием сложных процентов в финансовой практике достаточно велика. Расчеты по правилу сложных процентов часто называют начисление процентов на проценты, а процедуру присоединения начисленных процентов – их реинвестированием или капитализацией.

Рис. 1. Динамика увеличения денежных средств при начислении простых и сложных процентов

Из-за постоянного роста базы вследствие реинвестирования процентов рост первоначальной суммы денег осуществляется с ускорением, что наглядно представлено на рис. 1.

В финансовой практике обычно проценты начисляются несколько раз в году. Если проценты начисляются и присоединяются чаще (m раз в год), то имеет место m-кратное начисление процентов. В такой ситуации в условиях финансовой сделки не оговаривают ставку за период, поэтому в финансовых договорах фиксируется годовая ставка процентов i, на основе которой исчисляют процентную ставку за период (). При этом годовую ставку называют номинальной, она служит основой для определения той ставки, по которой начисляются проценты в каждом периоде, а фактически применяемую в этом случае ставку (() mn) – эффективной, которая характеризует полный эффект (доход) операции с учетом внутригодовой капитализации.

Наращенная сумма по схеме эффективных сложных процентов определяется по формуле

S = P (1+ ) mn , (5)

где i – годовая номинальная ставка, %; (1+ ) mn – коэффициент наращения эффективной ставки; m – число случаев начисления процентов за год; mn – число случаев начисления процентов за период.

S = 20 000 (1+ ) 4·1 = 22 950, руб.

Следует отметить, что при периоде, равным 1 году, число случаев начисления процентов за год будет соответствовать числу случаев начисления процентов за весь период. Если, период составляет более 1 года, тогда n (см. формулу (3)) – будет соответствовать этому значению.

S = 20 000 (1+ ) 4·3 = 31 279, 1 , руб.

Начисление сложных процентов также применяется не только в случаях исчисления возросшей на проценты суммы задолженности, но и при неоднократном учете ценных бумаг, определении арендной платы при лизинговом обслуживании, определении изменения стоимости денег под влиянием инфляции и т. д.

Как говорилось выше, ставку, которая измеряет относительный доход, полученный в целом за период, называют эффективной. Вычисление эффективной процентной ставки применяется для определения реальной доходности финансовых операций. Эта доходность определяется соответствующей эффективной процентной ставкой.

I эф = (1+ ) mn – 1 . (6)

Кредитная организация начисляет проценты на срочный вклад, исходя из номинальной ставки 10 % годовых. Определить эффективную ставку при ежедневном начислении сложных процентов.

i = (1+ ) 365 – 1 = 0,115156, т. е. 11 %.

Реальный доход вкладчика на 1 руб. вложенных средств составит не 10 коп. (из условия), а 11 коп. Таким образом, эффективная процентная ставка по депозиту выше номинальной.

Банк в конце года выплачивает по вкладам 10% годовых. Какова реальная доходность вкладов при начислении процентов: а) ежеквартально; б) по полугодиям.

а) i = (1+ ) 4 – 1 = 0,1038, т. е. 10,38 %;

б) i = (1+ ) 2 – 1 = 0,1025, т. е. 10,25 %.

Расчет показывает, что разница между ставками незначительна, однако начисление 10 % годовых ежеквартально выгодней для вкладчика.

Расчет эффективной процентной ставки в финансовой практике позволяет субъектам финансовых отношений ориентироваться в предложениях различных банков и выбрать наиболее приемлемый вариант вложения средств.

В кредитных соглашениях иногда предусматривается изменение во времени процентной ставки. Это вызвано изменением контрактных условий, предоставлением льгот, предъявлением штрафных санкций, а также изменением общих условий совершаемых сделок, в частности, изменение процентной ставки во времени (как правило, в сторону увеличения) связано с предотвращением банковских рисков, возможных в результате изменения экономической ситуации в стране, роста цен, обесценения национальной валюты и т. д.

Расчет наращенной суммы при изменении процентной ставки во времени может осуществляться как начислением простых процентов, так и сложных. Схема начисления процентов указывается в финансовом соглашении и зависит от срока, суммы и условий операции.

Пусть процентная ставка меняется по годам. Первые n 1 лет она будет равна i 1 , n 2 – i 2 и т. д. При начислении на первоначальную сумму простых процентов необходимо сложить процентные ставки i 1 , i 2 , i n , а при сложных – найти их произведение.

При начислении простых процентов применяется формула

S = P (1+i 1 t 1 + i 2 t 2 + i 3 t 3 + i n t n) , (7)

где i n – ставка простых процентов; t n – продолжительность периода начисления.

В первый год на сумму 10 000 руб. начисляются 10 % годовых, во второй – 10,5 % годовых, в третий – 11 % годовых. Определить сумму погашения, если проценты выплачиваются ежегодно.

S = 10 000 (1+0,10 · 1 +0,105 · 1 + 0,11 · 1)=13 150, руб.;

ΔР = 3 150, руб.

При начислении сложных процентов применяется формула

S = P(1+i 1 t 1)·(1+ i 2 t 2)·(1+ i 3 t 3)·(1+ i n t n) (8)

где i n – ставка сложных процентов; t n – продолжительность периода ее начисления.

В первый год на сумму 10 000 руб. начисляются 10 % годовых, во второй – 10,5 % годовых, в третий – 11 % годовых. Определить сумму погашения, если проценты капитализируются.

S = 10 000 (1+0,10 · 1)·(1 +0,105 · 1)·(1 + 0,11 · 1)= 13 492, 05, руб.

Приведенные примеры подтверждают тот факт, что начисление простых процентов связано с определением наращенной суммы по отношению к неизменной базе, т. е. каждый год (период) проценты начисляются на одну и ту же первоначальную стоимость. Если рассмотреть пример 10, то в этом случае наращенная стоимость составит:

– за первый год: S 1 = 10 000 (1+0,10 · 1) = 11 000, руб.;

ΔР 1 = 1 000, руб.;

– за второй год: S 2 = 10 000 (1+0,105 · 1) = 11 050, руб.;

ΔР 2 = 1 050, руб.;

– за третий год: S 3 = 10 000 (1+0,11 · 1) = 11 100, руб.;

ΔР 3 = 1 100, руб.

Таким образом, сумма процентов за 3 года составит:

ΔР = 1 000+1 050+1 100 = 3 150, руб. (см. пример 10).

В случае начисления сложных процентов, исходная сумма меняется после каждого начисления, так как проценты не выплачиваются, а накапливаются на основную сумму, т. е. происходит начисление процентов на проценты. Рассмотрим пример 11:

– в первом году: S 1 = 10 000 (1+0,10 · 1) = 11 000, руб.;

– во втором году: S 2 = 11000 (1+0,105 · 1) = 12 100, руб.;

– в третьем году: S 3 = 12100 (1+0,11 · 1) = 13 431, руб.

Таким образом, сумма процентов за 3 года составит: i 3 = 3 431, руб. (см. пример 10).

При разработке условий контрактов или их анализе иногда возникает необходимость в решении обратных задач – определение срока операции или уровня процентной ставки.

Формулы для расчета продолжительности ссуды в годах, днях и т. д. можно рассчитать, преобразуя формулы (1) и (5).

Срок ссуды (вклада):

t = · 365 . (9)

Определить на какой срок вкладчику поместить 10 000 руб. на депозит при начислении простых процентов по ставке 10 % годовых, чтобы получить 12 000 руб.

t = () · 365 = 730 дней (2 года).

Клиент имеет возможность вложить в банк 50 000 руб. на полгода. Определить процентную ставку, обеспечивающую доход клиента в сумме 2 000 руб.

t = () = 0,08 = 8 % годовых

Аналогично определяется необходимый срок окончания финансовой операции и ее протяженность, либо размер требуемой процентной ставки при начислении сложных процентов.

Для упрощения расчетов значения коэффициента (множитель) наращения представлены в прил. 3.

Формулы наращенной суммы

Рассмотрим наращение для различных случаев начисления рент.

1. Обычная годовая рента.

Пусть в конце каждого года в течение п лет на расчетный счет вносится по R рублей, проценты начисляются один раз в год по ставке i . В этом случае первый взнос к концу срока ренты возрастет до величины так как на сумму R проценты начислялись в течение(п - 1) года. Второй взнос увеличится до и т.д. На последний взнос проценты не начисляются.

Таким образом, в конце срока ренты ее наращенная сумма будет равна сумме членов геометрической прогрессии

в которой первый член равен R , знаменатель (1+ i ), число членов п. Эта сумма равна

(1)

где

(2)

называетсякоэффициентом наращения ренты . Он зависит только от срока ренты п и уровня процентной ставки i .

Наращенная сумма ренты пренумерандо в (1 + i ) раз больше постнумерандо и при m = p =1

(3)

Пример 1.

Для создания пенсионного фонда в банк ежегодно выплачивается рента постнумерандо в размере 10 млн. р.. На поступающие платежи начисляются проценты по сложной годовой ставке 18%. Определить размер фонда через 6 лет.

Решение.

По формуле (1) имеем:

млн. р.

Ответ. Пенсионный фонд через 6 лет будет составлять 99,42 млн. р.

2. Годовая рента, начисление процентов m раз в году.

Пусть платежи делают один раз в конце года, а проценты начисляют т раз в году. Это означает, что применяется каждый раз ставка j / m , где j - номинальная ставка процентов. Тогда члены ренты с начисленными до конца срока процентами имеют вид

Если прочитать предыдущую строку справа налево, то получимгеометрическую прогрессию, первый членом которой R, знаменатель (1+ j / m ) m , число членов п. Сумма членов этой прогрессии будет наращенной суммой ренты. Она равна

(4)

Наращенная сумма ренты пренумерандо вычисляется по формуле

(5)

Пример 2.

В условиях примера 1 принять, что проценты банком начисляются ежеквартально по номинальной ставке 18% годовых. Сделать вывод, какой вариант начисления процентов выгоден кредитору.

Решение.

По формуле (4) имеем

= 97, 45 млн. р.

Ответ. Кредитору выгоден вариант примера 2.2., чтобы на ренту начислялись проценты ежеквартально, при этом размер фонда будет составлять 97,45 млн. р.

3. Рента p -срочная, m = 1.

Найдем наращенную сумму при условии, что рента выплачивается р раз в году равными платежами, а проценты начисляются один раз в конце года.

Если R - годовая сумма платежей, то размер отдельного платежа равен R / p . Тогда последовательность платежей с начисленными до конца срока процентами также представляет собой геометрическую прогрессию, записанную в обратном порядке,

у которой первый член R / p , знаменатель (1+ i ) 1/ p , общее число членов пр. Тогда наращенная сумма рассматриваемой ренты равна сумме членов этой геометрической прогрессии

(6)

где

(7)

коэффициент наращения р-срочной ренты при m = 1.

Наращенная сумма ренты пренумерандо вычисляется по формуле:

(8)

Пример 3.

Господин Иванов вносит в банк в конце каждого месяца по 500 р.. На поступающие суммы платежей начисляются сложные проценты по годовой процентной ставке22%. Определить размер начисленной суммы через 8 лет.

Решение.

По форомуле (6) найдем размер начисленной суммы:

S = 500 [ (1 + 0,22) 8 - 1 ] / [ (1 + 0,22) 1/8 - 1 ] = 52,806 тыс. р.

Ответ. Размер начисленной банком суммы господину Иванову через 8 лет составит 52,806 тыс. р.

4. Рента p -срочная, р = т.

В контрактах часто начисление процентов и поступление платежа совпадают во времени. Таким образом число платежей р в году и число начислений процентов т совпадают, т.е. р = т . Тогда для получения формулы расчета наращенной суммы воспользуемся аналогией с годовой рентой и одноразовым начислением процентов в конце года, для которой

Различие будет лишь в том, что все параметры теперь характеризуют ставку и платеж за период, а не за год. Таким образом, получаем

(9)

Наращенная сумма ренты пренумерандо вычисляется по формуле:

(10)

Пример 4.

Господин Петров должен отдать долг в размере 200 тыс. р. Для того, чтобы собрать эту сумму он планирует в течение 3-х лет в конце каждого полгода вносить в банк одну и ту же сумму и на нее каждые полгода начисляются сложные проценты по годовой ставке 15%. Какова должна быть величина вносимых господином Петровым полугодовых вкладов при полугодовом начислении процентов?Рассмотреть случай, когда в банк вносится сумма один раз в конце каждого года и начисление процентов производится по той же сложной процентной ставке.

Решение.

Из(9) найдем сумму (R ), которую необходимо вносить в банк каждые полгодапри полугодовом начислении сложных процентов:

R = S j / [ (1 + j/m ) mn - 1 ] = 200 × 0,15 / [ (1 + 0,15/ 2) 2 × 3 - 1 ] = 55,228 тыс. р.

Из формулы (1) найдем сумму, которую необходимо вносить в банк каждый год при годовом начислении сложных процентов:

R = S j / [ (1 + j ) n - 1 ] = 200 × 0,15 / [ (1 + 0,15) 3 - 1 ] = 57,692 тыс. р.

Ответ. Господину Петрову необходимо вносить в банк каждые полгода иполугодовом начислении сложных процентов сумму, равную 55,228 тыс. р. и сумму в 57,692 тыс. р. при ежегодном вкладе и годовом начислении сложных процентов. Первый вариант вклада для него более выгоден.

5. Рента р -срочная, p ³ 1 , m ³ 1.

Это самый общий случай р -срочной ренты с начислением процентов т раз в году, причем, возможно р ¹ т.

Первый член ренты R / p , уплаченный спустя 1/р года после начала, составит к концу срока вместе с начисленными на него процентами

Число членов п p . В результате получаем наращенную сумму

(11)

Наращенная сумма ренты пренумерандо определяется по формуле:

(12)

Пример 5.

Предприятие создает страховой фонд, для чего направляет в банк платежи в размере 100 тыс. р. в конце каждых 4-х месяцев, начислениесложных процентов банк производит 1 раз в полгода по годовой ставке 18%. Определить размер страхового фонда через 10 лет.

Решение.

По формуле (11) найдем:

тыс.руб.

Ответ. Размер страхового фонда предприятия через 10 лет составит 7790,86тыс.р.

Дисконтирование

Современная стоимость (Возвращаемая сумма)

Процентная ставка

Рис. 6. Логика финансовых операций

Математическое дисконтирование

Математическое дисконтирование представляет собой формальное решение задачи, обратной наращению первоначальной суммы ссуды. Задача в этом случае формулируется так: какую первоначальную сумму ссуды надо выдать в долг, чтобы получить в конце срока сумму S при условии, что на долг начисляются проценты по ставке i ? Решив уравнение (1) относительно P , находим:

(12)

Установленная таким путем величина P является современной величиной суммы S , которая будет выплачена через n лет. Выражение 1/(1 + n∙i ) называется дисконтным множителем , который показывает современную стоимость одной денежной единицы.

Разность (S – P ) можно рассматривать не только как проценты, начисляемые на P , но и как дисконт суммы S . Обозначим последний через D . Дисконт, как скидка с конечной суммы долга необязательно определяется через процентную ставку, он может быть установлен по соглашению сторон и в виде абсолютной величины для всего срока.

Рассмотрим примеры.

Пример 8.

Через год владелец векселя, выданного коммерческим банком, должен получить по нему 220 тыс. руб. Какая сумма была внесена в банк в момент приобретения векселя, если годовая ставка составляет 12%?

Дано: Решение:

S = 220 т.р. Представим задачу графически

n = 1 год

i = 12%; n = 1 г.

S = 120т.р.

дисконтирование

Используя выражение (12) получим:
тыс. руб.

Пример 9.

Ссуда должна быть погашена через год в сумме 200 тыс. руб. Кредитор попросил погасить ссуду через 270 дней после выдачи под 10% годовых. Какую сумму получит кредитор? К = 365 дн.

Дано: Решение:

S = 200 тыс. руб. Изобразим задачу графически:

n = 1г.

n 1 = 270 дн.

i = 10%

n = 365-270

S = 200т.р.

дисконтирование

n 1 = 270

n 0 = 95 дн.

n = 365

Находим количество дней, оставшихся до погашения ссуды:

n 0 = n – n 1 = 365 – 270 = 95 (дн.)

Используя выражение (12) находим:

(тыс. руб.)

Банковский или коммерческий учет (учет векселей)

При учете векселя применяется банковский учет. Согласно этому методу проценты за использование ссуды в виде дисконта начисляются на сумму, подлежащую уплате в конце срока. При этом применяется учетная ставка d . (рис. 7)

Р дисконтирование (учет) S

Рис. 7

Дисконтирование с использованием простой учетной ставки

Расчетная формула для вычисления этих процентов выводится на основе следующих рассуждений.

Пусть с 1 руб. берется годовая учетная (дисконтная, авансовая) ставка d , тогда должник получает на руки сумму (1- d ) и по истечении срока должен вернуть 1 руб. То есть, если 1 руб. – это возвращаемая сумма S , то первоначальная сумма будет равна: P = S – d (при условии что срок равен одному году), или в нашем случае, P = 1 – d . Если значение S , Р и n – произвольны, то

P = S – S ∙ n ∙ d = S ∙ (1 – n ∙ d ), (13)

где S∙n∙d – величина дисконта, а n – срок от момента учета до даты погашения векселя. Величина (1 – n∙d ) называется дисконтным множителем при использовании учетной процентной ставки. Учет посредством учетной ставки осуществляется чаще всего при временной базе K = 360 дней, число дней ссуды берется точное (обыкновенные проценты с точным числом дней ссуды).

Для уяснения практического приложения рассмотрим дисконтный вексель. Используя номинал векселя (S ) , учетную ставку (d ) , время, оставшееся до срока погашения (t ) , вычитают дисконт (D ) – скидку с номинала, т.е. разницу между S и Р .

Затем рассчитывают выкупную (фактурную) стоимость векселя до срока погашения

(13а)

Рассмотрим пример:

Пример 10.

Владелец векселя номиналом 100 тыс. руб. и периодом обращения 105 дн., за 15 дн. до наступления срока платежа учитывает его в банке по учетной ставке 20%. Определить сумму, полученную владельцем векселя.

Дано: Решение:

S = 100 тыс. руб. Изобразим задачу графически:

Пер. обращение – 105 дн.

n = 15 дн.

Р - ? S = 100

n = 15 дн.

Используя выражение (13а) получим:

(тыс. руб.)

В отдельных случаях может возникнуть ситуация, когда совмещается начисление процентов по ставке наращения i и дисконтирование по учетной ставке d . В этом случае, полученная при учете сумма определиться как:

P` = P ∙ (1 + n ∙ i ) ∙ (1 – n` ∙ d ) (14)

S `

где P ( S ) – номинальная сумма; n – общий срок платежного обязательства; n ` - срок от момента учета до даты погашения платежа; Р` - сумма, полученная при учете обязательства.

Пример 11.

Долговое обязательство, предусматривающее уплату 400 тыс. руб. с начисленными на них 12% годовых, подлежит погашению через 90 дн. Владелец обязательства (кредитор) учел его в банке за 15 дн. до наступления срока по учетной ставке 13,5%. Полученная сумма после учета составила:

Дано: Решение:

S = 400 тыс. руб. В этой задаче номинальная стоимость

n = 90 дн. (возвращаемая сумма) принимается за

n ` = 15 дн. первоначальную: S = P (см. график).

d = 13,5%

P (S ) =400 т.р. S `

i = 12%; n = 90 дн.

d = 13,5%; n ` = 15дн.

дисконтирование

P ` -?

1. Вначале определяем наращенную сумму обязательства S ` , принимая его номинальную стоимость за первоначальную сумму:

(тыс. руб.)

2. Находим полученную после учета сумму:

(тыс. руб.)

3. Используя выражение (14) получаем ту же сумму:

(тыс. руб.)

Необходимость использования простой учетной ставки для расчета наращенной суммы возникает в случае определения номинальной стоимости векселя при выдаче ссуды. В этом случае сумма долга, проставленная в векселе, будет равна

(15)

Величина 1/(1-n ∙ d ) в этом случае является множителем наращения при использовании простой учетной ставки.

Пример 12.

Предприниматель обратился в банк за ссудой в размере 200 тыс. руб. на срок 55 дней. Банк согласен выдать указанную сумму при условии начисления процентов по простой учетной ставке, равной 20%. Найти возвращаемую сумму.

Дано: Решение:

Р = 200 тыс. руб. В этой задаче наращение производится

n = 55 дн. по простой учетной ставке.

Р = 200 S - ?

наращение

d = 20; n = 55 дн.

Используя выражение (15) получим:

тыс. руб.

Если бы сумма выдавалась под простую процентную ставку ( i ) , то наращенная сумма была бы равна тыс.руб . , т.е. наращение по учетной ставке идет быстрее и она менее выгодна должнику 206,111 < 206,304 т.е. возвращаемая сумма в первом случае будет больше.

Определение срока ссуды при использовании учетной ставки производится по формулам:

, (16)

, (17)

где n –срок ссуды в годах; t – срок ссуды в днях; k – временная база.

Рассмотрим пример:

Пример 13.

Фирме необходим кредит в 500 тыс. руб. Банк согласен на выдачу кредита при условии, что он будет возвращен в размере 600 тыс. руб. Учетная ставка 21% годовых. На какой срок банк предоставит кредит фирме? К = 365 дней

Дано: Решение:

S = 600 тыс. руб. Графическая иллюстрация задачи

Р = 500 тыс. руб.

Р = 500 т.р. S = 600 т.р.

d = 20%; n - ?

дисконтирование

При решении подобного рода задач проще воспользоваться выражением (17) , тогда срок кредита сразу получится в днях (при использовании выражения (16) срок будет выражен в долях года):

(дн.)

Величина учетной ставки рассчитывается по формулам:

, (18)

. (19)

Пример 14.

Контракт на получение ссуды в 500 тыс. руб. предусматривает возврат долга через 300 дней в сумме 600 тыс. руб. Определим примененную банком учетную ставку. К = 365 дней.

Дано: Решение:

Р = 500 тыс. руб.

S = 600 тыс. руб.

t = 300 дней

Р = 500 т.р. дисконтирование S = 600 т.р.

d = ? t = 300 дн.

По формуле (19) получим:
или d = 20,27%

При операциях с дисконтными финансовыми инструментами учетная ставка иногда может задаваться неявно: в виде общей относительной доли уменьшения номинала или как отношение дисконтированной суммы к номиналу; тогда d находится как или

(20)

где d ` - процент скидки; t – срок до учета (срок векселя).

Пример 15.

Размер удерживаемых процентов при выдаче полугодовой ссуды составляет 20% суммы ссуды. Определим заложенную учетную ставку процентов (дисконтную ставку). К = 365

Дано: Решение:

d ` = 20%

t = 0,5 г.(180 дн.)

К = 365 дн.

d - ?

Пример 16.

Государственные краткосрочные трехмесячные векселя котируются по курсу 90. Вычислим учетную ставку. К =360.

Дано: Решение:

P / S = 0,9 скидка в нашем случае: 1 – 0,9 = 0,1

d - ? тогда:

Контрольное домашнее задание по финансовой математике

1. Определите наращенную сумму вклада в 3 тыс. руб. при сроке вклада 2 года по номинальной процентной ставке 40% годовых. Начисление процентов производится: а) один раз в год, б) по полугодиям, в) поквартально, г) ежемесячно

Наращенная сумма к концу срока вклада определяется по формуле:

где m - количество начислений процентов в году;

n - срок депозита (в годах);

Указанная в депозитном договоре ставка годовых процентов (номинальная ставка).

Принятая в банках ставка процента за интервал начисления.

а) один раз в год:

(тыс.руб.)

б) по полугодиям

• (тыс.руб.)
• в) поквартально,

• (тыс.руб.)
• г) ежемесячно.

• (тыс.руб.)
• 2. Банк принимает вклады от населения по номинальной процентной ставке 12% годовых. Начисление процентов ежемесячное. Вклад 1200$ был изъят через 102 дня. Определите доход клиента

Для расчета продолжительности финансовой операции принимаем точное количество дней в году. Продолжительность финансовой операции определяется по формуле:

где t - фактическое количество дней по финансовой операции.

n - срок депозита (в годах).

3. Для строительства завода банк предоставил фирме кредит в 200 тыс.$ сроком на 10 лет из расчета 13% годовых. Проведите расчет коэффициента наращения, суммы начисленных процентов и стоимости кредита на конец каждого года

Простые проценты:

Коэффициент наращения простых процентов определяется по формуле:

где

где S 0 - сумма кредита;

n - период начисления процентов;

i - номинальная процентная ставка.

S 0 - сумма кредита;

n - период начисления процентов;

i - номинальная процентная ставка.

В таблице 1 приведены данные о значении коэффициента наращения, сумме процентов и стоимости кредита на конец каждого года (расчеты проведены в Microsoft Excel - Приложение А, задача 3).

Таблица 1. Расчетные данные коэффициента наращения, суммы процентов и стоимости кредита.

	коэффициент наращения	стоимость кредита, $	процент, $

Сложные проценты:

Коэффициент наращения определяется по формуле:

i - номинальная процентная ставка.

Сумма процента рассчитывается по формуле:

где S - сумма кредита;

n - период начисления процентов;

i - номинальная процентная ставка.

Стоимость кредита в конце периода:

где S n - стоимость кредита (наращенная стоимость);

S 0 - сумма кредита;

n - период начисления процентов;

i - номинальная процентная ставка.

В таблице 2 приведены данные о значении коэффициента наращения, сумме процентов и стоимости кредита на конец каждого года (расчеты проведены в Microsoft Excel).

Таблица 2. Расчетные данные коэффициента наращения, суммы процентов и стоимости кредита.

	коэффициент наращения	стоимость кредита, $	процент, $

4. Фирме предоставлен льготный кредит в 50 тыс. $ на 3 года под 12% годовых. Проценты на кредит начисляются один раз в год. По условиям договора фирма имеет право оплатить кредит и проценты единым платежом в конце трехлетнего периода. Сколько должна заплатить фирма при расчете по простым и сложным процентам?

Простые проценты:

Сумма простых процентов рассчитывается по формуле:

где S - сумма кредита;

n - период начисления процентов;

i - номинальная процентная ставка.

Сумма кредита составит:

Сумма начисленных сложных процентов рассчитывается по формуле:

где S - сумма кредита,

n - период начисления процентов,

i - номинальная процентная ставка.

Сумма кредита составит:

5. Производственно-коммерческая фирма получила кредит в 900 тыс. руб. сроком на 3 года. Проценты - сложные. Процентная ставка за первый год 40% и каждый последующий год увеличивается на 5%. Определите сумму возврата кредита

Сумма возврата кредита определяется по формуле:

где S n - сумма возврата кредита на конец периода;

S 0 - сумма кредита;

n - период начисления процентов;

i - номинальная процентная ставка.

По условию процентная ставка растет на 5 %:

Сумма возврата кредита на 3-й год составит:

6. Определите период времени, необходимый для удвоения капитала по простым и сложным процентам при процентной ставке 12% годовых. В последнем случае начисление процентов ежемесячное

«Правило 70» и «Правило 100» позволяют ответить на вопрос, за сколько лет удвоится капитала при ставки процента i.

Простые проценты («правило 100»):

i - ставка процента.

где Т - период, за который удвоится капитал;

i - ставка процента.

7. Определите период времени, необходимый для утроения капитала по простым и сложным процентам при процентной ставке 48% годовых. В последнем случае начисление процентов квартальное

Простые проценты при утроении капитала:

Сложные проценты при утроении капитала:

8. Сколько времени нужно хранить вклад в банке под 84% годовых при ежемесячном, поквартальном и полугодовом начислении процентов, чтобы сумма вклада удвоилась. Методика расчета банковская

Сложные проценты («правило 70»):

где Т - период, за который удвоится капитал;

m - периодичность начисления процентов;

i - ставка процента.

• - ежемесячное начисление: лет.
• - поквартальное начисление: лет.

• - полугодовое начисление: лет.
• 9. Клиент внес на депозит сроком на 4 месяца 1600$. Начисление процентов ежемесячное. После окончания срока он получил 1732$. Определите процентную ставку банка

Для определения процентной ставки банка применяется формула наращения денежных средств методом сложных процентов:

j - фактическое число периодов начисления процентов;

n - срок депозита (в годах);

S0 - величина вклада в момент открытия депозита;

Процентная ставка банка.

Отсюда процентная ставка банка рассчитывается по формуле:

Процентная ставка банка составит:

10. Какой должна быть минимальная процентная ставка, чтобы произошло удвоение вклада за год при начислении процентов: а) поквартально, б) ежемесячно

Минимальная процентная ставка определяется по формуле:

где m - количество начислений процентов;

n - срок депозита (в годах);

S0 - величина вклада в момент открытия депозита;

Sm - величина вклада в момент открытия депозита;

Процентная ставка банка.

a) поквартальное начисление процентов:

b) ежемесячное начисление процентов:

11. "Приорбанк" предлагал населению на 1996 г. денежный вклад. Доход по нему составил за первые 2 месяца 72% годовых, за следующие 2 месяца -84, за 5 месяцев - 96, за 6 месяцев - 108% годовых. Определите эффективную процентную ставку при размещении денег на 6 месяцев под указанные простые и сложные проценты. В последнем случае начисление процентов ежемесячное

Эффективная ставка процента - ставка, отражающая реальный доход от коммерческой сделки).

Эффективная процентная ставка, рассчитанная по простым процентам, определяется по формуле:

где m - количество начислений процентов;

n - срок депозита (в годах).

Эффективная процентная ставка, рассчитанная по сложным процентам, определяется по формуле:

где m - количество начислений процентов;

n - срок депозита (в годах).

12. Реклама одного коммерческого банка предлагает 84% годовых при ежемесячном начислении процентов. Другой коммерческий банк предлагает 88% годовых при поквартальном начислении процентов. Срок хранения вклада - 12 месяцев. Какому банку отдать предпочтение?

Выбор между коммерческими банками будет зависеть от коэффициента наращения.

Коэффициент наращения сложных процентов определяется по формуле:

где n - период начисления процентов,

i - номинальная процентная ставка.

Предпочтение Банку 1.

13. Сопоставьте условия четырех банков: а) проценты простые и процентная ставка 48%; b) номинальная процентная ставка - 46% годовых, начисление процентов происходит по полугодиям; c) номинальная процентная ставка - 45%, начисление процентов поквартальное; d) номинальная процентная ставка -44%, начисление процентов ежемесячное

Для определения наиболее выгодного варианта необходимо сопоставить предлагаемые условия (все расчеты проводятся для периода равного 1 год).

a) проценты простые и процентная ставка 48%.

Коэффициент наращения простых процентов: .

b) номинальная процентная ставка - 46% годовых, начисление процентов происходит по полугодиям.

c) номинальная процентная ставка - 45%, начисление процентов поквартальное.

Коэффициент наращения сложных процентов:

d) номинальная процентная ставка -44%, начисление процентов ежемесячное.

Коэффициент наращения сложных процентов:

В таблице 3 сопоставлены условия для вкладчика, заемщика и банка (кредитора).

Таблица 3

14. Клиент разместил вклад в 100 тыс. руб. на срочный депозит сроком 8 месяцев. Начисление процентов ежемесячное, под номинальную процентную ставку 36% годовых. Определите наращенную сумму и эффективную процентную ставку

Наращенная сумма депозита определяется по формуле сложного процента:

S 0 - начальная сумма вклада;

n - период начисления процентов;

i - номинальная процентная ставка.

15. Предприятие получило кредит на 3 года под номинальную процентную ставку 40% годовых. Комиссионные составляют 5% от суммы кредита. Определите эффективную процентную ставку при начислении процентов: а) один раз в год, б) поквартально, в) ежемесячно

Эффективная ставка определяется путем приравнивания будущих стоимостей без учета и с учетом комиссионных:

где m - количество начислений процентов;

n - срок кредита (в годах);

S - величина кредита;

Номинальная процентная ставка банка;

Сумма по уплате комиссии банку.

где h - комиссия банка.

Эффективная ставка рассчитывается по формуле:

• - один раз в год: ;
• -поквартально: ;

• - ежемесячно: .
• 16. Предприятие получило кредит на 3 года под годовую процентную ставку 48%. Комиссионные составляют 5% от суммы кредита. Определите эффективную процентную ставку кредита, если: а) кредит получен под простые проценты, b) кредит получен под сложные проценты с начисление процентов один раз в год, c) при ежемесячном начислении процентов

a) кредит получен под простые проценты

b) кредит получен под сложные проценты с начисление процентов один раз в год:

c) кредит получен под сложные проценты при ежемесячном начислении процентов:

17. Фирма получила кредит в 40 тыс. руб. на один месяц под годовую процентную ставку 12%. Проценты простые. Месячный уровень инфляции - 5,9%. Определите месячную процентную ставку с учетом инфляции, наращенную сумму и процентные деньги

Процентная ставка банка в месяц составляет:

Процентная ставка банка в месяц с учетом инфляции:

где i р - реальная ставка банка с учетом инфляции;

i - номинальная ставка банка;

n - число лет;

р - уровень инфляции.

Наращенная сумма кредита определяется по формуле простого процента:

депозит кредит банк доход

18. Фирма обратилась в банк за кредитом в 100 тыс. руб. сроком на один месяц. Банк выделяет такие кредиты под простую годовую процентную ставку 24% без учета инфляции. Месячные уровни инфляции за три предыдущие месяца: 1,8%; 2,4; 2,6%. Кредит выделен с учетом среднего уровня инфляции за три указанных месяца. Определите процентную ставку банка с учетом инфляции, сумму возврата, дисконт банка

Уровень инфляции за три месяца:

Средний уровень инфляции в месяц:

Наращенная сумма возврата:

Процентные выплаты составят: руб.

19. Банк выдал клиенту кредит на 3 месяца. Сумма кредита - 24 тыс. руб. Банк требует, чтобы реальная ставка доходности была 12% годовых. Прогнозируемый средний месячный уровень инфляции - 3,6%. Определите простую процентную ставку банка, наращенную сумму

Уровень инфляции за год:

Темп инфляции составит: или 53%.

Процентная ставка кредита с учетом инфляции:

r - реальная ставка доходности;

р - уровень инфляции.

Наращенная сумма возврата:

20. Фирма взяла кредит в коммерческом банке на два месяца под процентную ставку 30% годовых (без учета инфляции). Предполагаемый средний месячный уровень инфляции - 2%. Определите процентную ставку кредита с учетом инфляции и коэффициент наращения

Уровень инфляции за год:

Процентная ставка кредита (формула Фишера):

Коэффициент наращения сложных процентов:

Коэффициент наращения простых процентов:

21. Кредит в 500 тыс. руб., получен сроком на один год под номинальную процентную ставку 18% годовых. Начисление процентов ежемесячное. Ожидаемый среднемесячный уровень инфляции - 3%. Определите процентную ставку банка с учетом инфляции и наращенную сумму

Темп инфляции за год рассчитывается по формуле:

Определим процентную ставку банка с учетом инфляции:

Наращенная сумма:

22. Месячные уровни инфляции ожидаются на уровне 3%. Определите истинную процентную ставку доходности годового вклада, если банки принимают вклады под номинальные процентные ставки 40%, 50%, 60%. Проценты сложные и начисляются ежемесячно.

Уровень инфляции за год:

или 42,58% в год

Истинная процентная ставка:

где i - номинальная процентная ставка;

Истинная процентная ставка;

Уровень инфляции;

Истинная процентная ставка для номинальной ставки процента 40%:

Истинная процентная ставка для номинальной ставки процента 50%:

23. Средний месячный уровень инфляции с января по июнь 1997 г. - 5,9%. Какой должна быть годовая процентная ставка банка по депозитам, чтобы обеспечить реальную доходность вкладов 12% годовых. Проценты сложные и начисляются ежемесячно

Номинальная процентная ставка по депозит определяется по формуле:

где i - номинальная процентная ставка;

r- реальная доходность вклада;

Уровень инфляции.

24. Коммерческий банк принимал вклады от населения в первой половине 1997 г. под процентную ставку 54% годовых. Проценты начисляются ежемесячно. Средний месячный уровень инфляции - 5,9%. Определите реальную процентную ставку доходности

Реальная процентная ставка доходности определяется по формуле:

где i - номинальная процентная ставка;

r - реальная доходность вклада;

Уровень инфляции.

Происходит обесценивание вклада на 14,77%.

25. Коммерческие банки принимают вклады от населения "до востребования" под 60% годовых с ежемесячной капитализацией процентов. Определите истинную процентную ставку банка с учетом инфляции, наращенную сумму и доходность клиента от вклада в 3 тыс. руб. по истечении 1 года, если средний уровень инфляции 3,5%.

Уровень инфляции за год:

или 51,11% в год

Истинная процентная ставка:

где i - номинальная процентная ставка;

Истинная процентная ставка;

Уровень инфляции;

m - количество начислений процентов.

Истинная процентная ставка для номинальной ставки процента 60%:

Наращенная сумма депозита с ежемесячной капитализацией процентов определяется по формуле:

где S n - сумма депозита в конце периода;

S 0 - начальная сумма вклада;

n - период начисления процентов;

Истинная процентная ставка.

Доход вкладчика к концу срока составит:

где I n - доход вкладчика за период n;

n - срок депозита (в годах).

26. Рассчитайте NPV для инвестиционного проекта со следующим денежным потоком для ставки сравнения 15% годовых.

Таблица 3

Решение:

Чистая приведенная стоимость инвестиционного проекта определяется по формуле:

где CF t -- денежный приток (отток) за период t;

r -- ставка сравнения;

n -- жизненный цикл проекта.

В таблице 4 приведены расчеты, выполненные в Microsoft Excel.

Таблица 4

		коэффициент дисконтирования	приведенная стоимость потока

Значение NPV для инвестиционного проекта получили отрицательное. Значит проект следует отвергнуть.

27. Найдите внутреннюю норму доходности (IRR) для инвестиционного проекта со следующим регулярным денежным потоком (-200, -150, 50, 100, 150, 200, 200)

Внутренняя норма доходности IRR -- это ставка дисконтирования, при которой NPV проекта равен нулю.

В таблице 5 приведены расчеты, выполненные в Microsoft Excel.

Таблица 5

	Затраты I

Внутренняя норма доходности составляет 19%.

28. Сравните инвестиционные проекты (-50, -50, -45, 65, 85, 85, 20, 20) и (-60, -70, -50, -40, 110, 110, 110, 110), если годовая ставка процентов составляет: а) 10 % годовых; б) 15 % годовых; в) 20 % годовых.

Представленные инвестиционные проекты характеризуют собой типичный инвестиционный поток, в отрицательные платежи предшествуют положительным.

В таблице 6 приведены расчеты, выполненные в Microsoft Excel.

Инвестиционные поток (-50, -50, -45, 65, 85, 85, 20, 20)

Таблица 6

		коэффициент дисконтирования	приведенная стоимость потока		коэффициент дисконтирования	приведенная стоимость потока		коэффициент дисконтирования	приведенная стоимость потока

В таблице 7 приведены расчеты, выполненные в Microsoft Excel.

Инвестиционные поток (-60, -70, -50, -40, 110, 110, 110, 110)

Таблица 7

		коэффициент дисконтирования	приведенная стоимость потока		коэффициент дисконтирования	приведенная стоимость потока		коэффициент дисконтирования	приведенная стоимость потока

При ставке 10% наиболее эффективным является инвестиционный проект (-60, -70, -50, -40, 110, 110, 110, 110), т.к. NPV=66,96 PI=0,34, период окупаемости составляет 2,91

При ставке 15% наиболее эффективным является инвестиционный проект (-50, -50, -45, 65, 85, 85, 20, 20), т.к. NPV=22,26, PI=0,17, период окупаемости составляет 5,73

При ставке 20% наиболее эффективным является инвестиционный проект (-50, -50, -45, 65, 85, 85, 20, 20), т.к. NPV=2,13, PI=0,02, период окупаемости 57,71.

Список литературы

• 1. Задачи по финансовой математике: учебное пособие /П.Н. Брусов, П.П. Брусов, Н.П. Орехов, С.В. Скородулина - М.: КНОРУС, 2016 - 286 с.
• 2. Катаргин Н.В. Методы финансовых расчётов: Тексты лекций / Н.В. Катаргин - М.: Финансовый университет, кафедра «Системный анализ и Моделирование экономических процессов», 2016. - 124 с.
• 3. Кузнецов С.Б. Финансовая математика: учебное пособие / С.Б. Кузнецов; РАНХиГС, Сиб. ин-т управления - Новосибирск: Изд-во СибАГС - 2014 - 263с.
• 4. Печенежская И.А. Финансовая математика: сборник задач / И.А. Печенежская - Ростов н/Д: Феникс, 2010 - 188 с.
• 5. Финансовая математика: учебное пособие /П.Н. Брусов, П.П. Брусов, Н.П. Орехов, С.В. Скородулина - М.: КНОРУС, 2012 - 224 с.