Proces povećanja novca u vezi sa dodavanjem kamate na iznos duga naziva se akumulacija.

Obračunati iznos kredita (dug, depozit, itd.) je njegov početni iznos, zajedno sa kamatom obračunatom na njega do kraja roka.

Proces promjene iznosa duga sa obračunatom prostom kamatom može se predstaviti kao aritmetička progresija čiji su članovi vrijednosti

R; P + Pi =P(1 +i); R(1 + i) +Pi =P( 1+ 2i) itd. do R(1 +ni).

Prvi termin ove progresije je R, razlika - pi, tada je posljednji pojam akumulirana suma

S = P (1 + ni),

gdje S- produženo količina novca;

R- početni iznos novca,

ja- prosta kamatna stopa;

Pi- obračunate kamate za jedan period;

n- broj kamatnih perioda;

Pni- obračunate kamate P periodi .

Ova formula je obračunska formula za prostu kamatu ili formula jednostavne kamate.

Množilac (1 + ni) se naziva obračunski množitelj i pokazuje koliko je puta akumulirani iznos veći od početnog iznosa.

Akumulirani iznos se može predstaviti u obliku dva pojma: početni iznos i iznos kamate

S=P+I,

gdje I = Pni- iznos kamate.

Obračun proste kamate se obično koristi u dva slučaja:

1) pri zaključivanju kratkoročnih ugovora (davanje kratkoročnih kredita i sl.), čiji rok ne prelazi godinu dana;

2) kada se na iznos duga ne dodaje kamata, već se periodično plaća.

Kamatna stopa se obično utvrđuje na godišnjem nivou, pa ako transakcija traje kraće od godinu dana, potrebno je saznati koji dio kamate se plaća poveriocu. Za ovo, vrijednost P izraženo kao razlomak

gdje P - rok finansijske transakcije u dijelovima godine;

Y- broj dana ili mjeseci u godini (vremenska baza) godine- godina);

t- trajanje operacije (kredita) u danima ili mjesecima vrijeme- vrijeme).

U ovom slučaju, obračunati iznos se izračunava po formuli:

Moguće je nekoliko opcija za obračun kamate, koje se razlikuju po izboru vremenske osnove Y i kako se mjeri trajanje finansijske transakcije.

Često se kao osnova za mjerenje vremena uzima godina, koja se uslovno sastoji od 360 dana (12 mjeseci po 30 dana). U ovom slučaju kažu da obračunavaju običnu, odnosno komercijalnu kamatu, dok se tačna kamata dobija kada se za osnovu uzme stvarni broj dana u godini: 365 ili 366 ako je godina prijestupna.

Određivanje broja dana finansijske transakcije takođe može biti tačno ili približno. U prvom slučaju izračunava se stvarni broj dana između dva datuma, u drugom se trajanje finansijske transakcije određuje brojem mjeseci i dana transakcije, približno uzimajući u obzir da su svi mjeseci jednaki i sadrže 30 dana. svaki. U oba slučaja, datum početka i datum završetka operacije smatraju se istim danom.

Izračunavanje tačnog broja dana između dva datuma može se izvršiti uzimanjem razlike između ovih datuma, ili korišćenjem posebne tabele koja prikazuje serijske brojeve datuma u godini (Prilog 2, 3).

Različite opcije za vremensku bazu i metode za izračunavanje dana finansijske transakcije dovode do sljedećih šema obračuna kamata koje se koriste u praksi:

Tačna kamata sa tačnim brojem dana kredita (britanska šema 365/365, kada se računa 365 dana u godini, pola godine je jednako 182 dana i dužina meseci je tačna);

Obična kamata sa tačnim brojem dana kredita (francuska šema 365/360, 360 dana se prihvata godišnje i tačna dužina meseci);

Obična kamata sa približnim brojem dana pozajmice (njemačka šema 360/360, smatra se da u godini ima 360 dana i 30 dana u mjesecu).

Kako je tačan broj dana pozajmice u većini slučajeva veći od okvirnog, kamatna stopa na tačan broj dana je obično veća nego na okvirni.

Opcija obračuna sa tačnom kamatom i približnim merenjem vremena kredita nije primenljiva.

Tačan i približan broj dana za običnu kamatu povezan je sljedećim ovisnostima:

i 360 = 0,986301 i 365 ; i 365 = 1,013889 i 360 .

Kamatne stope ne ostaju konstantne tokom vremena; ugovori o zajmu ponekad predviđaju diskretnu promjenu kamatnih stopa. U ovom slučaju, formula za izračunavanje akumuliranog iznosa ima sljedeći oblik:

gdje i t- stopu proste kamate u periodu sa brojem t, t = 1,…, k;

n t- trajanje t obračunski period po stopi i t,i = 1,…, k.

Iznos depozita primljen na kraju navedenog perioda, zajedno sa obračunatom kamatom na njega, može se reinvestirati po ovoj ili drugoj kamatnoj stopi. Proces reinvestiranja se ponekad ponavlja nekoliko puta u periodu poravnanja N. U slučaju višestrukih ulaganja u kratkoročne depozite i primjene proste kamatne stope, obračunati iznos za cijeli period N nalazi se prema formuli

gdje P 1 , P 2 , n t- trajanje uzastopnih perioda reinvestiranja

gdje i 1 ,i 2 , …, i t- stope po kojima se vrši reinvestiranje.

Prilikom servisiranja tekućih računa banke se susreću sa kontinuiranim lancem primanja i trošenja sredstava, kao i sa potrebom za obračunom kamata na iznos koji se stalno mijenja. U bankarskoj praksi se u ovoj situaciji koristi pravilo - ukupan iznos obračunate kamate za čitav period jednak je iznosu obračunate kamate na svaki od iznosa koji su konstantni u određenom vremenskom periodu. Ovo se odnosi na debitni i kreditni dio računa. Jedina razlika je u tome što se kamata na kredit može odbiti.

Za izračunavanje kamate na takve konstantne iznose koriste se procentualni brojevi:

Procenti za svaki konstantni iznos se zbrajaju i dijele motom:

Stoga se cjelokupni apsolutni iznos obračunate kamate izračunava na sljedeći način:

Obračun stope prinosa kratkoročnih finansijskih transakcija u obliku proste kamatne stope vrši se prema formuli:

U praksi je često potrebno riješiti problem koji je inverzan akumulaciji kamate, kada je za dati akumulirani iznos koji odgovara kraju finansijske transakcije potrebno pronaći početni iznos . Ova kalkulacija se zove diskontovanje obračunatog iznosa. .

Vrijednost pronađena diskontiranjem naziva se sadašnja vrijednost, ili sadašnja vrijednost obračunatog iznosa.

U većini slučajeva, faktor vremena se uzima u obzir u finansijskim ugovorima uz pomoć diskonta. Moderna vrijednost Novac je ekvivalent akumuliranom iznosu u smislu da će nakon određenog vremenskog perioda i po datoj kamatnoj stopi, kao rezultat akumulacije, postati jednak akumuliranom iznosu . Stoga se operacija diskontiranja naziva i redukcijom.

Možete dovesti vrijednost novca u bilo koje željeno vrijeme, ne nužno na početak finansijske transakcije.

Postoje dvije vrste popusta:

1. Matematički diskont, koji je rješenje problema, obrnuto od povećanja prvobitnog kredita. Ako je u direktnom problemu S = P (1 + ni), zatim obrnuto

Izraz 1/(1 + ni) naziva se diskontni faktor i pokazuje koliki je udio početnog iznosa novca u konačnom iznosu duga.

Popust na obračunati iznos je jednak

D = S - R,

gdje D- popust.

2. Bankarsko (komercijalno) računovodstvo. Računovodstveni rad, uključujući i računovodstvo računa, sastoji se u tome da banka, prije roka za plaćanje po mjenici ili drugoj obavezi plaćanja, otkupi istu od vlasnika (koji je povjerilac) po cijeni nižoj od iznosa koji mora biti plaćeni na isteku roka, t .e. stječe (uzima u obzir) s popustom.

U ovom slučaju, sadašnja vrijednost gotovine je

P=S(1 - nd),

gdje d- računovodstvena kamatna stopa.

množitelj (1 - nd) naziva se diskontni faktor.

Iznos diskonta ili računovodstva koje vodi banka je jednak

D=Snd.

Jednostavna godišnja diskontna stopa je

Diskontiranje po diskontnoj stopi vrši se u većini slučajeva pod uslovom da je godina jednaka 360 dana.

Poseban slučaj je bankarski računovodstveni proces, kada se radni period izražava u danima ili mjesecima:

Diskontna stopa se može koristiti za povećanje:

Operacije povećanja i popusta su suprotne, ali se mogu koristiti za rješavanje oba problema. U ovom slučaju, ovisno o primijenjenoj stopi, može se razlikovati direktni i inverzni problem (Tabela 2.1).

Tabela 2.1 – Direktni i inverzni problemi

U uslovima tržišnu ekonomiju svaka interakcija osoba, firmi i preduzeća u cilju ostvarivanja profita naziva se transakcija. U kreditnim transakcijama dobit je iznos prihoda od pozajmljivanja novca koji se u praksi ostvaruje kroz obračunavanje kamate (kamatna stopa - i). Kamata zavisi od datog iznosa, roka kredita, uslova obračuna itd.

Najvažnije mjesto u finansijskim transakcijama zauzima faktor vremena (t). Princip neekvivalencije i neekvivalencije ulaganja povezan je sa faktorom vremena. Da bi se utvrdile promjene koje se dešavaju sa početnim iznosom novca (P), potrebno je izračunati iznos prihoda od pozajmljivanja novca, njegovog ulaganja u vidu doprinosa (depozita), ulaganja u hartije od vrijednosti i sl.

Proces povećanja iznosa novca u vezi sa obračunom kamate (i) naziva se akumulacija, odnosno rast početnog iznosa (P). Tako se promjena početnog troška pod uticajem dva faktora: kamatne stope i vremena naziva obračunatom vrijednošću (S).

Obračunata vrijednost se može odrediti shemom proste i složene kamate. Prosta kamata se koristi kada se obračunati iznos utvrđuje u odnosu na stalnu osnovicu, odnosno, obračunata kamata se otplaćuje (plaća) odmah nakon obračunavanja (dakle, početni iznos se ne menja); u slučaju kada se početni iznos (početni) promijeni u vremenskom intervalu, radi se o složenoj kamati.

Prilikom obračuna proste kamate, obračunati iznos se utvrđuje po formuli

S = P (1 + i t), (1)

gdje je S akumulirani iznos (trošak), rub.; P - početni iznos (trošak), rub.; i – kamatna stopa izražena kao koeficijent; t je period obračuna kamate.

S = 10.000 (1 + 0,13 1) = 11.300, rub. (iznos otplate kredita);

ΔR = 11.300 - 10.000 = 1.300, rub. (iznos obračunate kamate).

Odredite iznos otplate duga koji podliježe godišnjem plaćanju kamate, ako je banka izdala kredit u iznosu od 50.000 rubalja. na 2 godine, po stopi od 16% godišnje.

S = 50.000 (1 + 0,16 2) = 66.000, rub.

Tako se obračun obične kamate vrši u slučaju kada se obračunata kamata ne akumulira na iznos glavnog duga, već se plaća periodično, na primjer, jednom godišnje, pola godine, kvartal, mjesec, itd., što je određeno uslovima ugovor o zajmu. U praksi postoje i slučajevi kada se obračuni vrše na kraće periode, posebno na jednodnevnoj osnovi.

U slučaju kada je rok kredita (depozita i sl.) kraći od godinu dana, potrebno je datu kamatnu stopu u kalkulacijama korigovati u zavisnosti od vremenskog intervala. Na primjer, možete predstaviti period obračuna kamate (t) kao omjer, gdje je q broj dana (mjeseci, kvartali, šest mjeseci, itd.) kredita; k je broj dana (mjeseci, kvartali, semestri, itd.) u godini.

Dakle, formula (1) se mijenja i ima sljedeći oblik:

S = P (1 + i ). (2)

Banka prima oročene depozite na period od 3 mjeseca uz 11% godišnje. Izračunajte prihod klijenta kada uložite 100.000 rubalja. za navedeni period.

S = 100.000 (1+ 0,11 ) = 102.749,9 rub.;

ΔR = 102.749,9 - 100.000 = 2.749,9 rub.

U zavisnosti od broja dana u godini, moguće su različite opcije obračuna. U slučaju kada se kao osnovica za mjerenje vremena uzima godina koja se uslovno sastoji od 360 dana (12 mjeseci od 30 dana), obračunava se obična ili komercijalna kamata. Kada se za osnovu uzme stvarni broj dana u godini (365 ili 366 u prestupnoj godini), govori se o tačnim procentima.

Prilikom određivanja broja dana korišćenja kredita koriste se i dva pristupa: tačni i obični. U prvom slučaju se računa stvarni broj dana između dva datuma, u drugom se uzima da je mjesec jednak 30 dana. I u prvom i u drugom slučaju dan izdavanja i dan otplate smatraju se jednim danom. Postoje i slučajevi kada se u obračunu koristi broj obračunskih ili radnih bankarskih dana, čiji je broj mjesečno 24 dana.

Dakle, postoje četiri opcije izračuna:

1) obična kamata sa tačnim brojem dana pozajmice;

2) obična kamata sa približnim brojem dana pozajmice;

3) tačnu kamatu sa približnim brojem dana pozajmice;

4) tačnu kamatu sa brojem radnih dana banke.

Pri tome treba imati u vidu da se u praksi dan izdavanja i dan otplate kredita (depozita) uzimaju kao jedan dan.

Kredit je izdat u iznosu od 20.000 rubalja. za period od 10.01.06 do 15.06.06 uz 14% godišnje. Odredite iznos otplate kredita.

1. Redovna kamata sa tačnim brojem dana kredita:

156=21+28+31+30+31+15;

S = 20.000 (1 + 0,14 ) = 21.213,3 rub.

2. Obična kamata sa približnim brojem dana pozajmice:

S = 20.000 (1 + 0,14 ) = 21.205,6 rub.

3. Tačna kamata sa približnim brojem dana pozajmice:

S = 20.000 (1 + 0,14 ) = 21.189,0, rub.

4. Tačna kamata sa bankovnim brojem radnih dana:

S = 20.000 (1 + 0,14 ) = 21.516,7 rub.

Podaci za izračunavanje broja dana u periodu dati su u prilogu. 12.

Kao što je već pomenuto, pored obračuna proste kamate, koristi se i kompleksna obračunska kamata, pri kojoj se kamata obračunava više puta tokom perioda i ne plaća se, već se akumulira na iznos glavnog duga. Ovaj mehanizam je posebno efikasan za srednjoročne i dugoročne kredite.

Nakon prve godine (perioda), akumulirani iznos se određuje po formuli (1), gdje će i biti godišnja složena kamatna stopa. Nakon dvije godine (perioda), akumulirani iznos S 2 će biti:

S 2 = S 1 (1 + to) = P (1 + to) (1 + to) = P (1 + to) 2.

Dakle, prilikom izračunavanja složene kamate (nakon n godina (perioda) obračuna), obračunati iznos se određuje po formuli

S = P (1 + i t) n , (3)

gdje je i složena kamatna stopa, izražena kao koeficijent; n je broj obračuna složenih kamata za cijeli period.

Koeficijent akumulacije u ovom slučaju se izračunava po formuli

Kn = (1 + i t) n , (4)

gdje je Kn koeficijent akumulacije početnog troška, ​​jedinica.

Investitor ima priliku plasirati sredstva u iznosu od 75.000 rubalja. na depozit u komercijalnoj banci na 3 godine uz 10% godišnje.

Utvrditi iznos obračunate kamate do kraja roka oročenja, prilikom obračuna složene kamate.

S = 75.000 (1+ 0.1 1) 3 = 99.825, rub.

ΔR = 24 825, rub.

Dakle, stopa rasta će biti:

Kn \u003d (1 + 0,1 1) 3 = 1,331

Dakle, koeficijent akumulacije pokazuje koliko se puta povećao početni iznos pod datim uslovima.

Udio obračuna koji koriste složenu kamatu u finansijskoj praksi je prilično velik. Obračuni prema pravilu složene kamate često se nazivaju obračunavanjem kamata na kamatu, a postupak dodavanja obračunate kamate naziva se njihovo reinvestiranje ili kapitalizacija.

Rice. 1. Dinamika povećanja gotovine u obračunu proste i složene kamate

Zbog stalnog rasta osnovice zbog reinvestiranja kamate, rast početne količine novca se odvija ubrzano, što je jasno prikazano na sl. jedan.

U finansijskoj praksi kamata se obično obračunava nekoliko puta godišnje. Ako se kamata akumulira i dodaje češće (m puta godišnje), dolazi do m-strukog obračuna kamate. U takvoj situaciji, uslovi finansijske transakcije ne predviđaju stopu za period, stoga je godišnja kamatna stopa i fiksirana u finansijskim ugovorima, na osnovu kojih se obračunava kamatna stopa za period (). Istovremeno, godišnja stopa se naziva nominalna stopa, ona služi kao osnova za određivanje stope po kojoj se kamata obračunava u svakom periodu, a efektivna je stopa stvarno primijenjena u ovom slučaju (() mn), koja karakteriše puni efekat (prihod) poslovanja, uzimajući u obzir intra-godišnju kapitalizaciju .

Obračunati iznos po shemi efektivne složene kamate određuje se formulom

S = P (1+ ) mn , (5)

gdje je i godišnja nominalna stopa, %; (1+ ) mn je koeficijent povećanja efektivne stope; m je broj slučajeva obračuna kamate godišnje; mn je broj slučajeva obračuna kamate za period.

S = 20.000 (1+) 4 1 = 22.950, rub.

Treba napomenuti da će za period od 1 godine broj kamate godišnje odgovarati broju obračuna kamate za cijeli period. Ako je period duži od 1 godine, tada će n (vidi formulu (3)) odgovarati ovoj vrijednosti.

S = 20.000 (1+) 4 3 = 31.279,1 rub.

Obračun složene kamate se takođe primenjuje ne samo u slučajevima obračuna iznosa duga uvećanog za kamatu, već iu slučaju ponovljenog obračuna. vredne papire, određivanje zakupnine za usluge lizinga, utvrđivanje promene vrednosti novca pod uticajem inflacije i dr.

Kao što je gore diskutovano, stopa koja mjeri relativni prinos primljen u cijelom periodu naziva se efektivna stopa. Obračun efektivne kamatne stope se koristi za određivanje realnog prinosa finansijskih transakcija. Ovaj prinos je određen odgovarajućom efektivnom kamatnom stopom.

I ef = (1+) mn - 1. (6)

Kreditna organizacija obračunava kamatu na oročeni depozit, po nominalnoj stopi od 10% godišnje. Odredite efektivnu stopu za dnevnu složenu kamatu.

i = (1+) 365 - 1 = 0,115156, tj. 11%.

Stvarni prihod štediša za 1 rub. uložena sredstva neće biti 10 kopejki. (od uslova) i 11 kopejki. Dakle, efektivna kamatna stopa na depozit je viša od nominalne.

Banka na kraju godine plaća 10% godišnje na depozite. Koliki je stvarni prinos na depozite kada se kamata obračunava: a) kvartalno; b) svakih šest mjeseci.

a) i = (1+) 4 - 1 = 0,1038, tj. 10,38%;

b) i = (1+) 2 - 1 = 0,1025, tj. 10,25%.

Računica pokazuje da je razlika između stopa neznatna, međutim, obračunavanje od 10% godišnje na kvartalnoj osnovi je isplativije za investitora.

Obračun efektivne kamatne stope u finansijskoj praksi omogućava subjektima finansijskih odnosa da se kreću u ponudama različitih banaka i odaberu najprikladniju opciju ulaganja.

Ugovori o zajmu ponekad predviđaju promjenu kamatne stope tokom vremena. To je zbog promjena u ugovornim uslovima, obezbjeđivanja beneficija, izricanja kazni, kao i promjene opšti uslovi transakcije, posebno promena kamatne stope tokom vremena (po pravilu, naviše) povezana je sa prevencijom bankarski rizici, moguće kao rezultat promjena ekonomske situacije u zemlji, rasta cijena, deprecijacije nacionalna valuta itd.

Obračun obračunatog iznosa kada se kamatna stopa mijenja tokom vremena može se izvršiti i obračunom proste i složene kamate. Šema obračuna kamate je navedena u finansijskom ugovoru i zavisi od roka, iznosa i uslova transakcije.

Neka kamatna stopa varira iz godine u godinu. Za prvih n 1 godina to će biti jednako i 1, n 2 - i 2 itd. Prilikom obračuna proste kamate na početni iznos potrebno je sabrati kamatne stope i 1, i 2, i n, a za složene, pronađu njihov proizvod.

Formula za izračunavanje proste kamate je

S = P (1+i 1 t 1 + i 2 t 2 + i 3 t 3 + i n t n) , (7)

gdje je i n prosta kamatna stopa; t n je trajanje obračunskog perioda.

U prvoj godini u iznosu od 10.000 rubalja. Naplaćuje se 10% godišnje, u drugom - 10,5% godišnje, u trećem - 11% godišnje. Odrediti iznos otplate ako se kamata plaća godišnje.

S = 10 000 (1 + 0,10 1 + 0,105 1 + 0,11 1) = 13 150 rubalja;

ΔR = 3 150, rub.

Formula koja se koristi za izračunavanje složene kamate je

S = P(1+i 1 t 1) (1+ i 2 t 2) (1+ i 3 t 3) (1+ i n t n) (8)

gdje je i n složena kamatna stopa; t n - trajanje perioda njegovog obračunavanja.

U prvoj godini u iznosu od 10.000 rubalja. Naplaćuje se 10% godišnje, u drugom - 10,5% godišnje, u trećem - 11% godišnje. Odredite iznos otplate ako je kamata kapitalizirana.

S = 10 000 (1 + 0,10 1) (1 + 0,105 1) (1 + 0,11 1) = 13 492,05 rub.

Navedeni primjeri potvrđuju činjenicu da je obračun proste kamate povezan sa utvrđivanjem obračunate svote u odnosu na stalnu osnovicu, odnosno svake godine (period) kamata se obračunava na isti početni trošak. Ako uzmemo u obzir primjer 10, tada će u ovom slučaju obračunata vrijednost biti:

- za prvu godinu: S 1 = 10.000 (1 + 0,10 1) = 11.000, rubalja;

ΔR 1 = 1.000, rub.;

- za drugu godinu: S 2 = 10.000 (1 + 0,105 1) = 11.050, rubalja;

ΔR 2 = 1.050, rub.;

- za treću godinu: S 3 = 10.000 (1 + 0,11 1) = 11.100, rubalja;

ΔR 3 = 1 100, rub.

Dakle, iznos kamate za 3 godine će biti:

ΔR = 1.000 + 1.050 + 1.100 = 3.150, rub. (vidi primjer 10).

U slučaju obračuna složene kamate, početni iznos se mijenja nakon svakog obračuna, jer se kamata ne plaća, već se akumulira na iznos glavnice, odnosno kamata se obračunava na kamatu. Razmotrite primjer 11:

- u prvoj godini: S 1 = 10.000 (1 + 0,10 1) = 11.000, rubalja;

- u drugoj godini: S 2 = 11 000 (1 + 0,105 1) = 12 100 rubalja;

- u trećoj godini: S 3 = 12100 (1 + 0,11 1) = 13 431 rubalja.

Dakle, iznos kamate za 3 godine će biti: i 3 = 3.431, rubalja. (vidi primjer 10).

Prilikom izrade uslova ugovora ili njihove analize ponekad je potrebno riješiti inverzne probleme – određivanje roka poslovanja ili visine kamatne stope.

Formule za izračunavanje trajanja kredita u godinama, danima itd. mogu se izračunati transformacijom formula (1) i (5).

Rok kredita (depozit):

t = · 365 . (9)

Odredite koliko dugo deponent treba da položi 10.000 rubalja. na depozit pri obračunavanju proste kamate po stopi od 10% godišnje, kako biste dobili 12.000 rubalja.

t = ( ) 365 = 730 dana (2 godine).

Klijent ima priliku da uloži 50.000 rubalja u banku. za pola godine. Odredite kamatnu stopu koja osigurava prihod klijenta u iznosu od 2.000 rubalja.

t = ( ) = 0,08 = 8% godišnje

Slično, utvrđuje se potreban rok za izvršenje finansijske transakcije i njena dužina, odnosno visina tražene kamatne stope pri obračunu složene kamate.

Radi pojednostavljenja proračuna, vrijednosti koeficijenta (množitelja) akumulacije prikazane su u App. 3.

Formule obračunatog iznosa

Uzmite u obzir akumulaciju za različite slučajeve obračunavanja najamnina.

1. Obična renta.

Neka na kraju svake godine za P godine na tekući račun deponuje se premaRrubalja, kamata se obračunava jednom godišnje po stopii. U ovom slučaju, prva rata do kraja perioda anuiteta će se povećati na vrijednost od iznosa R naplaćena kamata n - 1) godine. Druga rata će se povećati na i tako dalje. Na posljednju ratu se ne obračunava kamata.

Dakle, na kraju roka anuiteta, njegov akumulirani iznos će biti jednak zbiru članova geometrijske progresije

u kojoj je prvi pojamR, imenilac (1+ i), broj članova P. Ovaj iznos je jednak

(1)

gdje

(2)

pozvao faktor akumulacije rente. Zavisi od roka zakupa. P i nivo kamatne stopei.

Akumulirani iznos anuiteta prenumerando u (1 + i) puta više postnumerando i at m =p=1

(3)

Primjer 1

Za formiranje penzionog fonda banci se godišnje uplaćuje anuitet postnumerando u iznosu od 10 miliona rubalja, a kamata se obračunava na uplate po složenoj godišnjoj stopi od 18%. Odredite veličinu fonda nakon 6 godina.

Rješenje.

Prema formuli (1) imamo:

miliona rubalja

Odgovori. Penzioni fond za 6 godina će biti 99,42 miliona rubalja.

2. Anuitet, obračun kamate m jednom godišnje.

Neka se uplate vrše jednom na kraju godine, a kamata se obračunava t jednom godišnje. To znači da se svaki put primjenjuje stopaj/ m, gdje j - nominalna kamatna stopa. Tada uslovi anuiteta sa kamatama nastalim pre isteka roka imaju oblik

Ako prethodni red čitamo s desna na lijevo, dobićemo geometrijsku progresiju čiji je prvi član R, imenilac (1+ j/ m) m, broj članova P. Zbroj članova ove progresije će biti akumulirani iznos anuiteta. Ona je jednaka

(4)

Obračunati iznos anuiteta prenumerando izračunava se po formuli

(5)

Primjer 2

U uslovima primera 1 pretpostavimo da banka obračunava kamatu na kvartalnoj osnovi po nominalnoj stopi od 18% godišnje. Donesite zaključak koja opcija za obračun kamate je korisna za zajmodavca.

Rješenje.

Po formuli (4) imamo

= 97,45 miliona rubalja

Odgovori.Opcija primjera 2.2 je korisna za kreditora, tako da se kamata obračunava na zakupninu kvartalno, dok će veličina fonda biti 97,45 miliona rubalja.

3. Najamstr - hitno,m = 1.

Pronađite akumulirani iznos, pod uslovom da je najam plaćen R jednom godišnje u jednakim ratama, a kamata se obračunava jednom na kraju godine.

Ako a R- godišnji iznos uplata, onda je iznos posebne uplate jednakR/ str. Tada je redoslijed plaćanja s kamatama naplaćenim prije kraja roka također geometrijska progresija, ispisana obrnutim redoslijedom,

koja ima prvog članaR/ str, imenilac (1+ i) 1/ str, ukupan broj članova itd. Tada je akumulirani iznos anuiteta koji se razmatra jednak zbroju članova ove geometrijske progresije

(6)

gdje

(7)

faktor akumulacije p-term anuiteta at m = 1.

Akumulirani iznos anuiteta prenumerando se izračunava po formuli:

(8)

Primjer 3

Gospodin Ivanov plaća banci 500 rubalja na kraju svakog meseca.Složena kamata se naplaćuje na dolazne uplate po godišnjoj kamatnoj stopi od 22%. Odredite iznos akumuliranog iznosa nakon 8 godina.

Rješenje.

Koristeći formulu (6) nalazimo iznos akumuliranog iznosa:

S=500 [ (1 + 0,22) 8 - 1 ] / [ (1 + 0,22) 1/8 - 1 ] = 52,806 hiljada rubalja

Odgovori.Iznos koji je banka akumulirala gospodinu Ivanovu za 8 godina iznosiće 52.806 hiljada rubalja.

4. Najam str -hitno, p = t.

U ugovorima se obračun kamate i prijem plaćanja često vremenski poklapaju. Dakle, broj uplata R godišnje i broj obračuna kamata t utakmica, tj. p = t. Zatim, da bismo dobili formulu za obračun akumuliranog iznosa, koristimo analogiju sa godišnjim anuitetom i jednokratnom kamatom na kraju godine, za koju

Jedina razlika će biti u tome što svi parametri sada karakterišu stopu i plaćanje za period, a ne za godinu. Dakle, dobijamo

(9)

Akumulirani iznos anuiteta prenumerando se izračunava po formuli:

(10)

Primjer 4

Gospodin Petrov mora da vrati dug od 200 hiljada rubalja. Da bi naplatio ovaj iznos, planira da isti iznos deponuje banci na kraju svakog šestog meseca na 3 godine, a na njega se obračunava složena kamata svakih šest meseci po godišnjoj stopi od 15%. Koliki bi trebao biti iznos polugodišnjih depozita gospodina Petrova sa polugodišnjim obračunom kamate Razmotrimo slučaj kada se iznos polaže u banci jednom na kraju svake godine i kamata se obračunava po istoj složenoj kamatnoj stopi .

Rješenje.

Iz (9) nalazimo zbir ( R), koji se banci uplaćuje svakih šest mjeseci uz obračun šestomjesečne složene kamate:

R = S j /[ (1 + j/m)mn- 1 ] = 200 × 0,15 / [ (1 + 0,15/ 2) 2 × 3 - 1 ] = 55.228 hiljada rubalja

Iz formule (1) nalazimo iznos koji se mora platiti banci svake godine sa godišnjom složenom kamatom:

R = S j / [ (1 + j) n - 1 ] = 200 × 0,15 / [ (1 + 0,15) 3 - 1 ] = 57,692 hiljada rubalja

Odgovori.G. Petrov treba da deponuje u banku svakih šest meseci i šest meseci složene kamate u iznosu od 55.228 hiljada rubalja. i iznos od 57.692 hiljade rubalja. sa godišnjim doprinosom i godišnjom složenom kamatom. Prva opcija ulaganja je za njega isplativija.

5. Najam R- hitno, str ³ 1 , m ³ 1.

Ovo je najopštiji slučaj R- oročeni anuitet sa prirastom kamate t jednom godišnje, a moguće R ¹ t.

Prvi član anuitetaR/ str, platio kasnije 1/r godine nakon početka, biće do kraja roka, zajedno sa naplaćenim kamatama na njega

Broj članova P str. Kao rezultat, dobijamo akumulirani iznos

(11)

Obračunati iznos anuiteta prenumerando određuje se po formuli:

(12)

Primjer 5

Preduzeće stvara fond osiguranja, za koji šalje uplate banci u iznosu od 100 hiljada rubalja. na kraju svaka 4 mjeseca, banka obračunava složenu kamatu jednom u šest mjeseci po godišnjoj stopi od 18%. Odredite veličinu fond osiguranja nakon 10 godina.

Rješenje.

Formulom (11) nalazimo:

hiljada rubalja.

Odgovori.Veličina fonda osiguranja preduzeća za 10 godina iznosit će 7790,86 hiljada rubalja.

Discounting

Sadašnja vrijednost (povratni iznos)

Kamatna stopa

Rice. 6. Logika finansijskih transakcija

Matematički diskont

Matematički diskont je formalno rješenje problema, obrnuto od povećanja prvobitnog iznosa kredita. Zadatak u ovom slučaju je formulisan na sledeći način: koliki je početni iznos kredita koji se mora izdati u dug da bi se taj iznos dobio na kraju roka? S pod uslovom da dug nosi kamatu po stopi i ? Rješavanjem jednačine (1) relativno P, mi nalazimo:

(12)

Vrijednost uspostavljena na ovaj način P je sadašnja vrijednost sume S koji će biti plaćen n godine. Izraz 1/(1 + n∙i) se zove množitelj popusta, koji pokazuje sadašnju vrijednost jedne valutne jedinice.

Razlika ( S – P) može se smatrati ne samo obračunatom kamatom P, ali i kao popust na iznos S. Označimo ovo drugo sa D. Diskont, kao popust od konačnog iznosa duga, nije nužno određen kroz kamatnu stopu, može se odrediti dogovorom stranaka iu obliku apsolutne vrijednosti za cijeli period.

Razmotrite primjere.

Primjer 8

Godinu dana kasnije, vlasnik mjenice koju je izdala komercijalna banka trebao bi na njoj dobiti 220 hiljada rubalja. Koliki je iznos deponovan u banci u trenutku kupovine menice, ako je godišnja stopa 12%?

Dato: Rješenje:

S= 220 tr. Hajde da grafički predstavimo problem

n= 1 godina

i = 12%; n= 1 g

S= 120t.r.

diskontovanje

Koristeći izraz(12) dobijamo:
hiljada rubalja.

Primjer 9

Kredit se mora otplatiti za godinu dana u iznosu od 200 hiljada rubalja. Zajmodavac je tražio da otplati zajam 270 dana nakon izdavanja uz 10% godišnje. Koliko će zajmodavac dobiti?To = 365 dana

Dato: Rješenje:

S= 200 hiljada rubalja. Hajde da grafički predstavimo problem:

n= 1g.

n1 = 270 dana

i = 10%

n = 365-270

S= 200t.r.

diskontovanje

n 1 = 270

n 0 = 95 dana

n = 365

Pronađite broj dana koji je ostao do otplate kredita:

n 0 = n – n 1 = 365 - 270 = 95 (dana)

Koristeći izraz (12) mi nalazimo:

(hiljadu rubalja.)

Bankarsko ili komercijalno računovodstvo (računovodstvo mjenica)

Prilikom obračuna računa koristi se bankovno računovodstvo. Prema ovoj metodi, kamata na korišćenje kredita se obračunava kao diskont na dospeli iznos na kraju roka. Pri tome se primjenjuje diskontna stopad. (sl. 7)

R diskontovanje (računovodstvo) S

Rice. 7

Sniženje korištenjem jednostavne diskontne stope

Formula za izračunavanje ovih procenata je izvedena na osnovu sledećeg rezonovanja.

Neka od 1 rub. uzima se godišnja obračunska (diskontna, avansna) stopa d, tada dužnik prima iznos (1- d) i nakon isteka roka mora vratiti 1 rub. To jest, ako 1 rub. je vraćeni iznos S, tada će početni zbir biti jednak: P = S – d(pod uslovom da je period od godinu dana), ili u našem slučaju, P = 1 – d. Ako vrijednost S, R i n su onda proizvoljni

P = S – S ∙ n ∙ d = S ∙ (1 – n ∙ d), (13)

gdje S∙n∙d je iznos popusta, i n- period od momenta obračuna do dana otplate računa. Vrijednost (1 - n∙d) se zove množitelj popusta korištenjem diskontne stope. Računovodstvo preko diskontne stope najčešće se vrši sa vremenskom bazom K= 360 dana uzima se tačan broj dana kredita (obična kamata sa tačnim brojem dana kredita).

Da biste razjasnili praktičnu primjenu, razmotrite račun s popustom. Koristeći apoen novčanice (S) , diskontna stopa (d) , preostalo vrijeme do dospijeća (t) , oduzmite popust (D) – popust od nominalne vrijednosti, tj. razlika između S i R.

Zatim izračunajte otkupnu (fakturnu) vrijednost mjenice do dospijeća

(13a)

Razmotrimo primjer:

Primjer 10

Vlasnik računa nominalne vrijednosti od 100 hiljada rubalja. i period cirkulacije od 105 dana, za 15 dana. prije roka, obračunava se u banci po diskontnoj stopi od 20%. Odredite iznos koji je primio vlasnik računa.

Dato: Rješenje:

S= 100 hiljada rubalja. Hajde da grafički predstavimo problem:

Per. žalba - 105 dana.

n= 15 dana

R - ? S = 100

n= 15 dana

Koristeći izraz(13a) dobijamo:

(hiljadu rubalja.)

U nekim slučajevima može doći do situacije kada se kombinuje obračunavanje kamate po obračunskoj stopii i diskontiranje po diskontnoj stopid . U ovom slučaju, iznos primljen tokom računovodstva utvrđuje se kao:

P` = P ∙ (1 + n ∙ i) ∙ (1 – n` ∙ d) (14)

S`

gdjeP ( S ) - nominalni iznos;n - ukupan rok obaveze plaćanja; n ` - period od momenta obračuna do dana otplate plaćanja;R` - iznos primljen prilikom obračuna obaveze.

Primjer 11.

Dužnička obaveza koja predviđa plaćanje od 400 hiljada rubalja. sa naplaćenim 12% godišnje, otplatom u roku od 90 dana. Vlasnik obaveze (povjerilac) ju je obračunao u banci za 15 dana. prije dospijeća po diskontnoj stopi od 13,5%. Iznos primljen nakon obračuna je:

Dato: Rješenje:

S= 400 hiljada rubalja. U ovom problemu, nominalna vrijednost

n= 90 dana (povratni iznos) se uzima kao

n` = 15 dana početni:S = P (vidi grafikon).

d = 13,5%

P(S) =400 tr. S`

i = 12%; n= 90 dana

d = 13,5%; n` = 15 dana

diskontovanje

P` -?

1. Prvo utvrđujemo akumulirani iznos obavezeS ` , uzimajući njegovu nominalnu vrijednost za početni iznos:

(hiljadu rubalja.)

2. Pronađite iznos primljen nakon obračuna:

(hiljadu rubalja.)

3. Upotreba izraza (14) dobijamo isti iznos:

(hiljadu rubalja.)

Potreba za korištenjem jednostavne diskontne stope za obračun akumuliranog iznosa javlja se u slučaju utvrđivanja nominalne vrijednosti mjenice prilikom davanja kredita. U ovom slučaju, iznos duga koji se nalazi na računu će biti jednak

(15)

Vrijednost 1/(1- n ∙ d ) u ovom slučaju jeste inkrementalni množitelj kada se koristi jednostavna diskontna stopa.

Primjer 12.

Preduzetnik se prijavio banci za kredit u iznosu od 200 hiljada rubalja. na period od 55 dana. Banka je saglasna da pozajmi navedeni iznos uz naplatu kamate jednostavna diskontna stopa od 20%. Pronađite povratni iznos.

Dato: Rješenje:

R= 200 hiljada rubalja. U ovom zadatku se pravi prirast

n= 55 dana po jednostavnoj diskontnoj stopi.

R = 200 S - ?

izgraditi

d = 20; n= 55 dana

Koristeći izraz(15) dobijamo:

hiljada rubalja.

Ako je iznos izdat uz prostu kamatnu stopu( i ) , tada bi akumulirani iznos bio jednak hiljada rubalja. , tj. povećanje diskontne stope je brže i manje je korisno za dužnika 206,111< 206,304 т.е. возвращаемая сумма в первом случае будет больше.

Određivanje roka kredita pri korišćenju diskontne stope vrši se prema formulama:

, (16)

, (17)

gdje n – rok kredita u godinama; t – rok kredita u danima; k - privremena baza.

Razmotrimo primjer:

Primjer 13

Kompaniji je potreban zajam od 500 hiljada rubalja. Banka je saglasna da izda kredit, pod uslovom da se vrati u iznosu od 600 hiljada rubalja. Diskontna stopa iznosi 21% godišnje. Koliko dugo će banka kreditirati kompaniju?To = 365 dana

Dato: Rješenje:

S= 600 hiljada rubalja. Grafička ilustracija zadatka

R= 500 hiljada rubalja.

R= 500 tr. S= 600 tr.

d = 20%; n - ?

diskontovanje

Prilikom rješavanja problema ove vrste lakše je koristiti izraz(17) , tada će rok kredita odmah ispasti u danima (kada se koristi izraz(16) vrijeme će biti izraženo u dijelovi godine):

(dana)

Diskontna stopa se izračunava pomoću formula:

, (18)

. (19)

Primjer 14

Ugovor o zajmu od 500 hiljada rubalja. predviđa otplatu duga u roku od 300 dana u iznosu od 600 hiljada rubalja. Odredite diskontnu stopu koju primjenjuje banka.To = 365 dana.

Dato: Rješenje:

R= 500 hiljada rubalja.

S= 600 hiljada rubalja.

t= 300 dana

R= 500 tr. diskontovanje S= 600 tr.

d = ? t= 300 dana

Prema formuli(19) dobijamo:
ilid = 20,27%

U transakcijama s diskontnim finansijskim instrumentima, diskontna stopa se ponekad može postaviti implicitno: u obliku ukupnog relativnog udjela apoena ili kao odnos diskontiranog iznosa prema nominalnoj vrijednosti ; ondad nalazi se kao ili

(20)

gdjed ` - postotak popusta;t – rok prije obračuna (rok računa).

Primjer 15

Iznos kamate zadržane prilikom davanja polugodišnjeg kredita iznosi 20% od iznosa kredita. Definirajmo hipotekarnu kamatnu stopu (diskontna stopa).To = 365

Dato: Rješenje:

d` = 20%

t= 0,5 g (180 dana)

To= 365 dana

d - ?

Primjer 16

Državni kratkoročni tromjesečni zapisi kotiraju se po stopi od 90. Izračunajmo eskontnu stopu.To =360.

Dato: Rješenje:

P / S = 0,9 popust u našem slučaju: 1 - 0,9 = 0,1

d - ? onda:

Kontrolni domaći zadatak iz finansijske matematike

1. Odredite akumulirani iznos depozita od 3 hiljade rubalja. sa rokom oročenja od 2 godine uz nominalnu kamatnu stopu od 40% godišnje. Kamata se obračunava: a) jednom godišnje, b) polugodišnje, c) tromjesečno, d) mjesečno

Akumulirani iznos do kraja roka depozita određuje se po formuli:

gdje je m broj kamate godišnje;

n - rok depozita (u godinama);

Godišnja kamatna stopa navedena u ugovoru o depozitu (nominalna stopa).

Kamatna stopa prihvaćena u bankama za obračunski interval.

a) jednom godišnje:

(hiljadu rubalja.)

b) za pola godine

• (hiljadu rubalja.)
• c) tromjesečno

• (hiljadu rubalja.)
• d) mjesečno.

• (hiljadu rubalja.)
• 2. Banka prima depozite od stanovništva po nominalnoj kamatnoj stopi od 12% godišnje. Obračun kamate mjesečno. Depozit od 1200 dolara je povučen nakon 102 dana. Odredite prihod kupaca

Da bismo izračunali trajanje finansijske transakcije, uzimamo tačan broj dana u godini. Trajanje finansijske transakcije određuje se formulom:

gdje je t stvarni broj dana za finansijsku transakciju.

n - rok depozita (u godinama).

3. Za izgradnju fabrike banka je kompaniji dala kredit od 200 hiljada dolara na period od 10 godina po stopi od 13% godišnje. Izračunajte obračunsku stopu, iznos obračunate kamate i trošak kredita na kraju svake godine

Jednostavna kamata:

Koeficijent obračuna proste kamate određuje se po formuli:

gdje

gdje je S 0 - iznos kredita;

n - period obračuna kamata;

i - nominalna kamatna stopa.

S 0 - iznos kredita;

n - period obračuna kamata;

i - nominalna kamatna stopa.

U tabeli 1 prikazani su podaci o vrijednosti obračunskog koeficijenta, iznosu kamate i trošku kredita na kraju svake godine (proračuni su urađeni u Microsoft Excel-u – Prilog A, zadatak 3).

Tabela 1. Procijenjeni podaci o koeficijentu akumulacije, visini kamate i trošku kredita.

	faktor akumulacije	trošak kredita, $	postotak, $

Složena kamata:

Koeficijent akumulacije određuje se formulom:

i - nominalna kamatna stopa.

Iznos kamate se izračunava po formuli:

gdje je S iznos kredita;

n - period obračuna kamata;

i - nominalna kamatna stopa.

Vrijednost kredita na kraju perioda:

gdje je S n - trošak kredita (akumulirana vrijednost);

S 0 - iznos kredita;

n - period obračuna kamata;

i - nominalna kamatna stopa.

U tabeli 2 prikazani su podaci o vrijednosti obračunskog koeficijenta, iznosu kamate i trošku kredita na kraju svake godine (proračuni su rađeni u Microsoft Excel-u).

Tabela 2. Procijenjeni podaci o koeficijentu akumulacije, visini kamate i trošku kredita.

	faktor akumulacije	trošak kredita, $	postotak, $

4. Kompaniji je odobren povlašćeni zajam od 50.000 dolara na 3 godine uz 12% godišnje. Kamata na kredit se obračunava jednom godišnje. Prema uslovima ugovora, firma ima pravo da plati zajam i kamatu jednokratno na kraju trogodišnjeg perioda. Koliko bi firma trebala platiti prilikom obračuna proste i složene kamate?

Jednostavna kamata:

Zbir proste kamate se izračunava po formuli:

gdje je S iznos kredita;

n - period obračuna kamata;

i - nominalna kamatna stopa.

Iznos kredita će biti:

Iznos obračunate složene kamate izračunava se po formuli:

gdje je S iznos kredita,

n - period obračuna kamata,

i - nominalna kamatna stopa.

Iznos kredita će biti:

5. Proizvodno-komercijalna firma dobila je kredit od 900 hiljada rubalja. na period od 3 godine. Kamata je složena. Kamatna stopa za prvu godinu iznosi 40%, a svake naredne godine raste za 5%. Odredite iznos otplate kredita

Iznos otplate kredita određuje se po formuli:

gdje je S n - iznos otplate kredita na kraju perioda;

S 0 - iznos kredita;

n - period obračuna kamata;

i - nominalna kamatna stopa.

Prema uslovu, kamatna stopa se povećava za 5%:

Iznos otplate kredita za 3. godinu će biti:

6. Odrediti vremenski period potreban da se udvostruči kapital na prostu i složenu kamatu po kamatnoj stopi od 12% godišnje. U potonjem slučaju, mjesečna kamata

"Pravilo 70" i "Pravilo 100" dozvoljavaju odgovor na pitanje za koliko godina će se kapital udvostručiti po kamatnoj stopi i.

Jednostavna kamata (“pravilo 100”):

i - kamatna stopa.

gdje je T period za koji će se kapital udvostručiti;

i - kamatna stopa.

7. Odrediti vremenski period potreban da se kapital utrostruči uz prostu i složenu kamatu po kamatnoj stopi od 48% godišnje. U potonjem slučaju, tromjesečna obračunska kamata

Prosta kamata na trostruki kapital:

Složena kamata kada se kapital utrostruči:

8. Koliko dugo je potrebno držati depozit u banci na 84% godišnje sa mjesečnom, tromjesečnom i polugodišnjom kamatom da bi se iznos depozita udvostručio. metoda bankarskog obračuna

Složena kamata ("Pravilo 70"):

gdje je T period za koji će se kapital udvostručiti;

m - učestalost obračuna kamata;

i - kamatna stopa.

• - mjesečni obračun: godine.
• - tromjesečni obračun: godine.

• - polugodišnji obračun: godine.
• 9. Klijent je deponovao $1600 na period od 4 meseca. Obračun kamate mjesečno. Nakon isteka roka, dobio je 1732 dolara. Odredite kamatnu stopu banke

Za određivanje kamatne stope banke koristi se formula za prikupljanje sredstava metodom složene kamate:

j je stvarni broj perioda obračuna kamate;

n - rok depozita (u godinama);

S0 - iznos depozita u trenutku otvaranja depozita;

bankarska kamatna stopa.

Odavde se kamatna stopa banke izračunava po formuli:

Kamatna stopa banke će biti:

10. Kolika bi trebala biti minimalna kamatna stopa da bi se depozit udvostručio u godini kada se kamata obračunava: a) tromjesečno, b) mjesečno

Minimalna kamatna stopa se utvrđuje po formuli:

gdje je m broj kamate;

n - rok depozita (u godinama);

S0 - iznos depozita u trenutku otvaranja depozita;

Sm - iznos depozita u trenutku otvaranja depozita;

bankarska kamatna stopa.

a) tromjesečni obračun kamate:

b) mjesečni obračun kamate:

11. "Priorbank" je ponudila stanovništvu za 1996. godinu gotovinski depozit. Prihod na njemu je bio 72% godišnje za prva 2 mjeseca, 84% godišnje za naredna 2 mjeseca, 96% godišnje za 5 mjeseci i 108% godišnje za 6 mjeseci. Odredite efektivnu kamatnu stopu prilikom plasmana novca na 6 mjeseci uz navedenu prostu i složenu kamatu. U potonjem slučaju, mjesečna kamata

Efektivna kamatna stopa je stopa koja odražava stvarni prihod od komercijalne transakcije).

Efektivna kamatna stopa izračunata na prostu kamatu određena je formulom:

gdje je m broj kamate;

n - rok depozita (u godinama).

Efektivna kamatna stopa izračunata na složenu kamatu određena je formulom:

gdje je m broj kamate;

n - rok depozita (u godinama).

12. Oglas za jednu poslovnu banku nudi 84% godišnje sa mjesečnom kamatom. Druga komercijalna banka nudi 88% godišnje sa kvartalnom kamatom. Rok depozita je 12 mjeseci. Koju banku preferirate?

Izbor između komercijalnih banaka zavisiće od obračunske stope.

Koeficijent obračuna složene kamate određuje se formulom:

gdje je n period obračuna kamata,

i - nominalna kamatna stopa.

Prednost za banku 1.

13. Uporedite uslove četiri banke: a) prosta kamata i kamatna stopa od 48%; b) nominalna kamatna stopa - 46% godišnje, kamata se obračunava polugodišnje; c) nominalna kamatna stopa - 45%, tromjesečna obračunska kamata; d) nominalna kamatna stopa -44%, mjesečna obračunska kamata

Da biste odredili najisplativiju opciju, potrebno je uporediti predložene uslove (svi proračuni se provode za period od 1 godine).

a) prosta kamata i kamatna stopa od 48%.

Koeficijent obračuna proste kamate: .

b) nominalna kamatna stopa - 46% godišnje, kamata se obračunava polugodišnje.

c) nominalna kamatna stopa - 45%, obračunska kamata kvartalno.

Složena kamatna stopa:

d) nominalna kamatna stopa -44%, mjesečna obračunska kamata.

Složena kamatna stopa:

Tabela 3 poredi uslove za deponenta, zajmoprimca i banku (kreditora).

Tabela 3

14. Klijent je položio depozit od 100 hiljada rubalja. na orocenje na period od 8 meseci. Kamata se obračunava mjesečno, po nominalnoj kamatnoj stopi od 36% godišnje. Odredite akumulirani iznos i efektivnu kamatnu stopu

Akumulirani iznos depozita određuje se formulom složene kamate:

S 0 - početni iznos depozita;

n - period obračuna kamata;

i - nominalna kamatna stopa.

15. Preduzeće je dobilo kredit na 3 godine uz nominalnu kamatnu stopu od 40% godišnje. Provizija iznosi 5% od iznosa kredita. Odredite efektivnu kamatnu stopu pri obračunu kamate: a) jednom godišnje, b) tromjesečno, c) mjesečno

Efektivna stopa se utvrđuje izjednačavanjem budućih vrijednosti isključujući i uključujući provizije:

gdje je m broj kamate;

n - rok kredita (u godinama);

S - iznos kredita;

Nominalna kamatna stopa banke;

Iznos za plaćanje provizije banci.

gdje je h - bankarska provizija.

Efektivna stopa se izračunava pomoću formule:

• - jednom godišnje: ;
• - tromjesečno: ;

• - mjesečno: .
• 16. Preduzeće je dobilo kredit na 3 godine uz godišnju kamatnu stopu od 48%. Provizija iznosi 5% od iznosa kredita. Odredite efektivnu kamatnu stopu zajma ako: a) je kredit primljen pod obična kamata, b) zajam primljen uz složenu kamatu sa obračunatom kamatom jednom godišnje, c) sa mjesečnom prirastom kamate

a) zajam primljen uz prostu kamatu

b) zajam primljen uz složenu kamatu sa kamatom koja se obračunava jednom godišnje:

c) kredit je primljen uz složenu kamatu sa mjesečnom obradom kamate:

17. Kompanija je dobila kredit od 40 hiljada rubalja. na mjesec dana uz godišnju kamatnu stopu od 12%. Interes je jednostavan. Mjesečna stopa inflacije iznosi 5,9%. Odredite mjesečnu kamatnu stopu prilagođenu inflaciji, obračunati iznos i novac od kamata

Mjesečna kamatna stopa banke je:

Mjesečna bankarska kamatna stopa prilagođena inflaciji:

gdje je i p - realna stopa banke, uzimajući u obzir inflaciju;

i - nominalni kurs banke;

n - broj godina;

p je stopa inflacije.

Obračunati iznos kredita određuje se jednostavnom formulom kamate:

depozitni kredit banke prihod

18. Kompanija se prijavila banci za kredit od 100 hiljada rubalja. na period od mjesec dana. Banka daje takve kredite uz prostu godišnju kamatnu stopu od 24%, isključujući inflaciju. Mjesečne stope inflacije za prethodna tri mjeseca: 1,8%; 2.4; 2,6%. Kredit je dodijeljen uzimajući u obzir prosječnu stopu inflacije za tri navedena mjeseca. Odredite kamatnu stopu banke prilagođenu inflaciji, iznos povrata, bankovni diskont

Stopa inflacije za tri mjeseca:

Prosječna mjesečna stopa inflacije:

Akumulirani iznos povrata:

Plaćanje kamata iznosit će: rub.

19. Banka je klijentu izdala kredit na 3 mjeseca. Iznos kredita - 24 hiljade rubalja. Banka traži da realna stopa prinosa bude 12% godišnje. Predviđena prosječna mjesečna stopa inflacije iznosi 3,6%. Odredite prostu kamatnu stopu banke, akumulirani iznos

Stopa inflacije za godinu:

Stopa inflacije će biti: ili 53%.

Kamatna stopa zajma prilagođena inflaciji:

r - realna stopa prinosa;

p je stopa inflacije.

Akumulirani iznos povrata:

20. Firma je uzela kredit od komercijalne banke na dva mjeseca uz kamatnu stopu od 30% godišnje (bez inflacije). Procijenjena prosječna mjesečna stopa inflacije je 2%. Odredite kamatnu stopu zajma, uzimajući u obzir inflaciju i obračunsku stopu

Stopa inflacije za godinu:

Kamata na kredit (Fischer formula):

Složena kamatna stopa:

Jednostavni faktor obračuna kamate:

21. Zajam od 500 hiljada rubalja, primljen na period od godinu dana uz nominalnu kamatnu stopu od 18% godišnje. Obračun kamate mjesečno. Očekivana prosječna mjesečna stopa inflacije je 3%. Odredite kamatnu stopu banke prilagođenu inflaciji i obračunatom iznosu

Godišnja stopa inflacije se izračunava pomoću formule:

Odredite kamatnu stopu banke prilagođenu inflaciji:

Obračunati iznos:

22. Mjesečne stope inflacije se očekuju od 3%. Odredite pravu kamatnu stopu prinosa na godišnji depozit ako banke prihvataju depozite po nominalnim kamatnim stopama od 40%, 50%, 60%. Kamata je složena i obračunava se mjesečno.

Stopa inflacije za godinu:

ili 42,58% godišnje

Prava kamatna stopa:

gdje je i - nominalna kamatna stopa;

Prava kamatna stopa;

stopa inflacije;

Prava kamatna stopa za nominalnu kamatnu stopu od 40%:

Prava kamatna stopa za nominalnu kamatnu stopu od 50%:

23. Prosječna mjesečna stopa inflacije od januara do juna 1997. godine iznosi 5,9%. Kolika bi trebala biti godišnja kamatna stopa banke na depozite da bi se osigurao realan prinos na depozite od 12% godišnje. Kamata je složena i obračunava se mjesečno

Nominalna kamatna stopa na depozit je određena formulom:

gdje je i - nominalna kamatna stopa;

r je stvarni prinos na depozit;

stopa inflacije.

24. Komercijalna banka je primala depozite od javnosti u prvoj polovini 1997. po kamatnoj stopi od 54% godišnje. Kamata se obračunava mjesečno. Prosječna mjesečna stopa inflacije iznosi 5,9%. Odredite realnu kamatnu stopu prinosa

Stvarna kamatna stopa prinosa određena je formulom:

gdje je i - nominalna kamatna stopa;

r - realna profitabilnost depozita;

stopa inflacije.

Dolazi do deprecijacije doprinosa za 14,77%.

25. Komercijalne banke prihvataju depozite stanovništva "na zahtjev" uz 60% godišnje sa mjesečnom kapitalizacijom kamata. Odredite stvarnu kamatnu stopu banke, uzimajući u obzir inflaciju, akumulirani iznos i profitabilnost klijenta iz depozita od 3 hiljade rubalja. nakon 1 godine ako je prosječna stopa inflacije 3,5%.

Stopa inflacije za godinu:

ili 51,11% godišnje

Prava kamatna stopa:

gdje je i - nominalna kamatna stopa;

Prava kamatna stopa;

stopa inflacije;

m - broj kamate.

Prava kamatna stopa za nominalnu kamatnu stopu od 60%:

Obračunati iznos depozita sa mjesečnom kapitalizacijom kamate određuje se po formuli:

gdje je S n - iznos depozita na kraju perioda;

S 0 - početni iznos depozita;

n - period obračuna kamata;

prava kamatna stopa.

Prihod investitora na kraju roka će biti:

gdje je I n - prihod investitora za period n;

n - rok depozita (u godinama).

26. Izračunajte NPV za investicioni projekat sa sljedećim priliv novca za uporednu stopu od 15% godišnje.

Tabela 3

Rješenje:

Neto sadašnja vrijednost investicionog projekta određena je formulom:

gdje je CF t -- priliv (odliv) gotovine za period t;

r -- stopa poređenja;

n -- životni ciklus projekta.

Tabela 4 prikazuje proračune obavljene u programu Microsoft Excel.

Tabela 4

		diskontni koeficijent	sadašnja vrijednost toka

Vrijednost NPV za investicijski projekat bila je negativna. Dakle, projekat treba odbiti.

27. Pronađite internu stopu povrata (IRR) za investicioni projekat sa sljedećim redovnim novčanim tokom (-200, -150, 50, 100, 150, 200, 200)

IRR je diskontna stopa pri kojoj je NPV projekta nula.

Tabela 5 prikazuje proračune obavljene u programu Microsoft Excel.

Tabela 5

	Troškovi I

Interna stopa povrata je 19%.

28. Uporedite investicione projekte (-50, -50, -45, 65, 85, 85, 20, 20) i (-60, -70, -50, -40, 110, 110, 110, 110) ako god. kamatna stopa je: a) 10% godišnje; b) 15% godišnje; c) 20% godišnje.

Prikazani investicioni projekti karakterišu tipičan investicioni tok, u kojem negativne isplate prethode pozitivnim.

Tabela 6 prikazuje proračune obavljene u programu Microsoft Excel.

Tok ulaganja (-50, -50, -45, 65, 85, 85, 20, 20)

Tabela 6

		diskontni koeficijent	sadašnja vrijednost toka		diskontni koeficijent	sadašnja vrijednost toka		diskontni koeficijent	sadašnja vrijednost toka

Tabela 7 prikazuje proračune obavljene u programu Microsoft Excel.

Tok ulaganja (-60, -70, -50, -40, 110, 110, 110, 110)

Tabela 7

		diskontni koeficijent	sadašnja vrijednost toka		diskontni koeficijent	sadašnja vrijednost toka		diskontni koeficijent	sadašnja vrijednost toka

Sa stopom od 10%, najefikasniji je investicioni projekat(-60, -70, -50, -40, 110, 110, 110, 110) NPV=66,96 PI=0,34, period otplate je 2,91

Sa stopom od 15% najefikasniji je investicioni projekat (-50, -50, -45, 65, 85, 85, 20, 20), jer NPV=22,26, PI=0,17, period otplate je 5,73

Sa stopom od 20% najefikasniji je investicioni projekat (-50, -50, -45, 65, 85, 85, 20, 20), jer NPV=2,13, PI=0,02, period otplate 57,71.

Bibliografija

• 1. Zadaci iz finansijske matematike: udžbenik / P.N. Brusov, P.P. Brusov, N.P. Orekhov, S.V. Skorodulina - M.: KNORUS, 2016 - 286 str.
• 2. Katargin N.V. Metode finansijskih obračuna: Tekstovi predavanja / N.V. Katargin - M.: Finansijski univerzitet, Katedra za sistemsku analizu i modeliranje ekonomskih procesa, 2016. - 124 str.
• 3. Kuznjecov S.B. Finansijska matematika: udžbenik / S.B. Kuznetsov; RANEPA, Sib. Institut za menadžment - Novosibirsk: Izdavačka kuća SibAGS - 2014 - 263 str.
• 4. Pechenezhskaya I.A. Finansijska matematika: zbirka zadataka / I.A. Pechenezhskaya - Rostov n/a: Phoenix, 2010 - 188 str.
• 5. Finansijska matematika: udžbenik /P.N. Brusov, P.P. Brusov, N.P. Orekhov, S.V. Skorodulina - M.: KNORUS, 2012 - 224 str.