Процесът на увеличаване на парите във връзка с добавянето на лихва към размера на дълга се нарича натрупване.

Начислената сума на заем (дълг, депозит и др.) е първоначалната му сума, заедно с начислената лихва по него до края на срока.

Процесът на промяна на размера на дълга с начислена проста лихва може да се представи като аритметична прогресия, членове на която са стойностите

Р; P + Pi =П(1 +и); Р(1 + и) +Пи =P( 1+ 2и) и т.н. до Р(1 +ни).

Първият член на тази прогресия е Р, разлика - пи,тогава последният член е натрупаната сума

С = П (1 + ни),

където С- удължен парична сума;

Р- първоначалната парична сума,

аз-проста лихва;

Пи- начислена лихва за един период;

н- броя на лихвените периоди;

Pni- начислени лихви Ппериоди .

Тази формула е формулата за начисляване за проста лихва или формулата за проста лихва.

Множител (1 + ни) се нарича множител на начисляване. Той показва колко пъти начислената сума е по-голяма от първоначалната сума.

Натрупаната сума може да бъде представена под формата на два термина: първоначалната сума и размера на лихвата

S=P+аз,

където I = Pni- размер на лихвите.

Изчисляването на проста лихва обикновено се използва в два случая:

1) при сключване на краткосрочни договори (предоставяне на краткосрочни заеми и др.), чийто срок не надвишава една година;

2) когато лихвата не се добавя към размера на дълга, а се плаща периодично.

Лихвеният процент обикновено се определя на годишна база, така че ако сделката трае по-малко от година, е необходимо да се разбере каква част от лихвата се изплаща на кредитора. За това стойността Пизразено като дроб

където P -срок на финансовата транзакция в части от година;

Й- брой дни или месеци в годината (временна база) година- година);

т-продължителност на операцията (заема) в дни или месеци време- време).

В този случай начислената сума се изчислява по формулата:

Възможни са няколко варианта за изчисляване на лихва, които се различават по избора на времева база Йи как се измерва продължителността на финансова транзакция.

Често за основа за измерване на времето се взема година, която условно се състои от 360 дни (12 месеца по 30 дни всеки). В този случай те казват, че изчисляват обикновена или търговска лихва. За разлика от това, точната лихва се получава, когато за основа се вземе действителният брой дни в годината: 365 или 366, ако годината е високосна.

Определянето на броя на дните на финансова транзакция също може да бъде точно или приблизително. В първия случай се изчислява действителният брой дни между две дати, във втория, продължителността на финансовата транзакция се определя от броя на месеците и дните на транзакцията, като приблизително се счита, че всички месеци са равни и съдържат 30 дни всеки. И в двата случая началната и крайната дата на операцията се считат за един и същи ден.

Изчисляването на точния брой дни между две дати може да се направи, като се вземе разликата между тези дати или се използва специална таблица, която показва поредните номера на датите в една година (Приложение 2, 3).

Различни опции за времевата база и методи за изчисляване на дните на финансова транзакция водят до следните схеми за изчисляване на лихви, използвани на практика:

Точна лихва с точния брой дни на заема (британската схема 365/365, когато в годината се броят 365 дни, половин година е равна на 182 дни и дължината на месеците е точна);

Обикновена лихва с точен брой дни на заема (френска схема 365/360, приемат се 360 дни на година и точната продължителност на месеците);

Обикновена лихва с приблизителен брой дни на заема (немска схема 360/360, счита се, че има 360 дни в годината и 30 дни във всеки месец).

Тъй като точният брой дни на заема в повечето случаи е по-голям от приблизителния брой, лихвеният процент при точния брой дни обикновено е по-голям, отколкото при приблизителния.

Опцията за изчисление с точна лихва и приблизително измерване на срока на заема не е приложима.

Точният и приблизителен брой дни за обикновена лихва са свързани със следните зависимости:

и 360 = 0,986301 и 365 ; и 365 = 1,013889 и 360 .

Лихвените проценти не остават постоянни във времето; споразуменията за заем понякога предвиждат дискретна промяна на лихвените проценти. В този случай формулата за изчисляване на натрупаната сума има следната форма:

където то- процентът на простата лихва в периода с номера т, t = 1,…, к;

n t- продължителност тпериод на начисляване по курса то,i = 1,…, к.

Сумата на депозита, получена в края на посочения период, заедно с начислената лихва по нея, може да бъде реинвестирана при този или друг лихвен процент. Процесът на реинвестиране понякога се повтаря няколко пъти в рамките на периода на сетълмент Н.В случай на множество инвестиции в краткосрочни депозити и прилагане на обикновена лихва, начислената сума за целия период нсе намира по формулата

където П 1 , П 2 , n t- продължителността на последователните периоди на реинвестиране

където и 1 ,и 2 , …, то- проценти, по които се извършва реинвестирането.

При обслужването на разплащателни сметки банките са изправени пред непрекъсната верига от постъпления и разходи на средства, както и необходимостта от начисляване на лихва върху постоянно променяща се сума. В банковата практика в тази ситуация се използва правилото - общият размер на начислената лихва за целия период е равен на размера на лихвите, начислени върху всяка от сумите, които са постоянни за определен период от време. Това се отнася за дебитната и кредитната част на сметката. Единствената разлика е, че кредитната лихва се приспада.

За изчисляване на лихвите върху такива постоянни суми се използват процентни числа:

Процентите за всяка постоянна сума се сумират и разделят на мотото:

Следователно, цялата абсолютна сума на начислената лихва се изчислява, както следва:

Изчисляването на нормата на възвръщаемост на краткосрочните финансови транзакции под формата на обикновен лихвен процент се извършва по формулата:

На практика често е необходимо да се реши проблемът, обратен на натрупването на лихви, когато за дадена натрупана сума, съответстваща на края на финансова транзакция, се изисква да се намери първоначалната сума . Това изчисление се нарича дисконтиране на натрупаната сума. .

Стойността, намерена чрез дисконтиране, се нарича настояща стойност или настояща стойност на натрупаната сума.

В повечето случаи факторът време се взема предвид във финансовите договори с помощта на дисконтиране. Модерна стойност Парие еквивалентна на натрупаната сума в смисъл, че след определен период от време и при даден лихвен процент, в резултат на натрупването, тя ще стане равна на натрупаната сума . Следователно операцията по дисконтиране се нарича още редукция.

Можете да донесете стойността на парите до всеки желан момент от време, не непременно до началото на финансова транзакция.

Има два вида отстъпки:

1. Математическо дисконтиране, което е решение на проблема, обратно на увеличението на първоначалния заем. Ако в директния проблем С = П (1 + ни), след това наобратно

Израз 1/(1 + ни) се нарича дисконтов фактор.Той показва каква част от първоначалната сума пари в крайния размер на дълга.

Отстъпката от начислената сума е равна на

д = С - Р,

където д- отстъпка.

2. Банково (търговско) счетоводство. Счетоводната операция, включително отчитане на сметки, се състои в това, че банката, преди датата на падежа за плащане по сметка или друго платежно задължение, я изкупува от собственика (който е кредитор) на цена, по-ниска от сумата, която трябва се заплаща върху него в края на срока, т.е. придобива (отчита) го с отстъпка.

В този случай настоящата стойност на паричните средства е

P=S(1 - nd),

където д- счетоводен лихвен процент.

Множител (1 - nd) се нарича дисконтов фактор.

Размерът на отстъпката или счетоводството, воден от банката, е равен на

D=Snd.

Простият годишен дисконтов процент е

Отстъпката с дисконтов процент се извършва в повечето случаи, при условие че годината е равна на 360 дни.

Специален случай е банковият счетоводен процес, когато периодът на операцията се изразява в дни или месеци:

Дисконтовият процент може да се използва за увеличаване на:

Операциите за увеличение и отстъпка са противоположни, но могат да се използват за решаване на двата проблема. В този случай, в зависимост от приложената скорост, може да се разграничат директни и обратни задачи (Таблица 2.1).

Таблица 2.1 - Преки и обратни задачи

В пазарната икономика всяко взаимодействие между лица, фирми и предприятия с цел реализиране на печалба се нарича транзакция. При кредитните сделки печалбата е размерът на дохода от отпускане на пари в заем, който на практика се реализира чрез начисляване на лихва (лихвен процент - i). Лихвата зависи от предоставената сума, срока на кредита, условията на начисляване и др.

Най-важното място във финансовите транзакции е факторът време (t). Принципът на нееквивалентност и нееквивалентност на инвестициите е свързан с фактора време. За да се определят промените, които настъпват с първоначалната сума пари (P), е необходимо да се изчисли размерът на дохода от отпускане на пари на заем, инвестиране под формата на вноска (депозит), инвестиране в ценни книжа и др.

Процесът на увеличаване на сумата на парите във връзка с изчисляването на лихвата (i) се нарича натрупване или нарастване на първоначалната сума (P). Така промяната в първоначалната цена под влияние на два фактора: лихвен процент и време се нарича начислена стойност (S).

Начислената стойност може да се определи по схемата на проста и сложна лихва. Простата лихва се използва, когато начислената сума се определя спрямо постоянна база, тоест начислената лихва се изплаща (изплаща) веднага след начисляването (по този начин първоначалната сума не се променя); в случай, че първоначалната сума (първоначална) се променя във времевия интервал, те се занимават със сложна лихва.

При изчисляване на проста лихва начислената сума се определя по формулата

S = P (1 + i t), (1)

където S е натрупаната сума (разходи), руб.; P - първоначална сума (цена), руб.; i – лихвен процент, изразен като коефициент; t е периодът за изчисляване на лихвата.

S = 10 000 (1 + 0,13 1) = 11 300, търкайте. (сума за погасяване на кредита);

ΔР \u003d 11 300 - 10 000 = 1 300, търкайте. (размерът на начислената лихва).

Определете размера на погасяването на дълга, подлежащ на годишно плащане на лихва, ако банката е издала заем в размер на 50 000 рубли. за 2 години, в размер на 16% годишно.

S = 50 000 (1 + 0,16 2) = 66 000, търкайте.

По този начин изчисляването на простата лихва се извършва в случай, когато начислената лихва не се натрупва върху размера на главния дълг, а се изплаща периодично, например веднъж годишно, половин година, тримесечие, месец, и др., което се определя от условията на договора за заем. В практиката има и случаи, когато сетълментите се извършват за по-кратки срокове, в частност на еднодневна база.

В случай, че срокът на кредита (депозит и др.) е по-малък от една година, е необходимо да се коригира дадения лихвен процент в изчисленията в зависимост от интервала от време. Например, можете да представите периода за изчисляване на лихвите (t) като съотношение, където q е броят на дните (месеци, тримесечия, шест месеца и т.н.) на заема; k е броят на дните (месеци, тримесечия, семестри и т.н.) в една година.

Така формула (1) се променя и има следния вид:

S = P (1 + i ). (2)

Банката приема срочни депозити за срок от 3 месеца при 11% годишно. Изчислете дохода на клиента, когато инвестирате 100 000 рубли. за посочения период.

S = 100 000 (1+ 0,11) = 102 749,9, разтриване;

ΔР = 102 749,9 - 100 000 = 2 749,9 руб.

В зависимост от броя на дните в годината са възможни различни варианти за изчисление. В случай, че за база за измерване на времето се взема година, състояща се условно от 360 дни (12 месеца по 30 дни), се изчислява обикновена или търговска лихва. Когато се вземе за основа действителният брой дни в годината (365 или 366 през високосна година), се говори за точни проценти.

При определяне на броя дни на ползване на кредита се използват и два подхода: точен и обикновен. В първия случай се изчислява действителният брой дни между две дати, във втория, месецът се приема за равен на 30 дни. И в първия, и във втория случай денят на издаване и денят на погасяване се считат за един ден. Има и случаи, когато при изчислението се използва броят на сетълмент или работни банкови дни, чийто брой на месец е 24 дни.

По този начин има четири опции за изчисление:

1) обикновена лихва с точния брой дни на заема;

2) обикновена лихва с приблизителен брой дни на заема;

3) точна лихва с приблизителен брой дни на заема;

4) точна лихва с банков брой работни дни.

В същото време трябва да се има предвид, че на практика денят на издаване и денят на погасяване на заема (депозита) се приемат за един ден.

Заемът е издаден в размер на 20 000 рубли. за периода от 10.01.06 до 15.06.06 при 14% годишно. Определете размера на погасяването на кредита.

1. Обикновена лихва с точния брой дни на заема:

156=21+28+31+30+31+15;

S = 20 000 (1 + 0,14 ) = 21 213,3, търкайте.

2. Обикновена лихва с приблизителен брой дни на заема:

S = 20 000 (1 + 0,14 ) = 21 205,6, търкайте.

3. Точна лихва с приблизителен брой дни на заема:

S = 20 000 (1 + 0,14 ) = 21 189,0, търкайте.

4. Точна лихва с банков брой работни дни:

S = 20 000 (1 + 0,14 ) = 21 516,7, търкайте.

Данните за изчисляване на броя на дните в периода са представени в Приложение. 12.

Както бе споменато по-горе, в допълнение към изчисляването на простата лихва се използва комплексно начисляване, при което лихвите се начисляват няколко пъти през периода и не се плащат, а се натрупват върху размера на главния дълг. Този механизъм е особено ефективен при средносрочни и дългосрочни заеми.

След първата година (период) натрупаната сума се определя по формулата (1), където i ще е годишният сложна лихва. След две години (периоди) натрупаната сума S 2 ще бъде:

S 2 = S 1 (1 + то) = P (1 + то) (1 + то) = P (1 + то) 2.

По този начин, когато се изчислява сложна лихва (след n години (периоди) на начисляване), начислената сума се определя по формулата

S = P (1 + i t) n , (3)

където i е сложният лихвен процент, изразен като коефициент; n е броят на начислените сложни лихви за целия период.

Коефициентът на натрупване в този случай се изчислява по формулата

Kn = (1 + i t) n , (4)

където Kn е коефициентът на натрупване на първоначалната цена, единици.

Инвеститорът има възможност да постави средства в размер на 75 000 рубли. на депозит в търговска банка за 3 години при 10% годишно.

Определете размера на начислената лихва до края на срока на депозита при изчисляване на сложна лихва.

S = 75 000 (1+ 0,1 1) 3 = 99 825, разтриване.

ΔР = 24 825, rub.

По този начин темпът на растеж ще бъде:

Kn = (1 + 0,1 1) 3 = 1,331

Следователно коефициентът на натрупване показва колко пъти се е увеличило първоначалното количество при дадени условия.

Делът на изчисленията, използващи сложна лихва във финансовата практика, е доста голям. Изчисленията според правилото за сложна лихва често се наричат ​​натрупване на лихва върху лихва, а процедурата за добавяне на начислена лихва се нарича тяхното реинвестиране или капитализиране.

Ориз. 1. Динамиката на нарастването на паричните средства при изчисляване на проста и сложна лихва

Поради постоянното нарастване на базата поради реинвестирането на лихвата, нарастването на първоначалната сума пари се извършва с ускорение, което е ясно показано на фиг. един.

Във финансовата практика лихвата обикновено се изчислява няколко пъти годишно. Ако лихвите се начисляват и добавят по-често (m пъти годишно), тогава се извършва m-кратно начисляване на лихва. В такава ситуация условията на финансовата транзакция не определят лихвения процент за периода, следователно годишният лихвен процент i е фиксиран във финансови договори, въз основа на които се изчислява лихвеният процент за периода (). В същото време годишният лихвен процент се нарича номинален лихвен процент, той служи като основа за определяне на лихвата, при който се начислява лихва за всеки период, а действително прилаганият в този случай процент (() mn) е ефективен, което характеризира пълният ефект (доход) от операцията, като се вземе предвид вътрешногодишната капитализация.

Начислената сума по схемата за ефективна сложна лихва се определя по формулата

S = P (1+ ) mn , (5)

където i е годишната номинална ставка, %; (1+ ) mn е коефициентът на увеличение на ефективния процент; m е броят на случаите на начисляване на лихва за година; mn е броят на случаите на начисляване на лихва за периода.

S = 20 000 (1+) 4 1 = 22 950, търкайте.

Трябва да се отбележи, че за период от 1 година броят на начислените лихви за година ще съответства на броя на начислените лихви за целия период. Ако периодът е повече от 1 година, тогава n (вижте формула (3)) ще съответства на тази стойност.

S = 20 000 (1+) 4 3 = 31 279,1, търкайте.

Изчисляването на сложната лихва се прилага не само в случаите на изчисляване на размера на дълга, увеличен с лихва, но и при повторно отчитане ценни книжа, определяне на наема за лизингови услуги, определяне на изменението на стойността на парите под влияние на инфлацията и др.

Както беше обсъдено по-горе, процентът, който измерва относителната възвръщаемост, получена за периода като цяло, се нарича ефективен процент. Изчисляването на ефективния лихвен процент се използва за определяне на реалната доходност от финансови транзакции. Тази доходност се определя от съответния ефективен лихвен процент.

I ef \u003d (1+) mn - 1. (6)

Кредитна организацияначислява лихва върху срочен депозит, на база номинална ставка от 10% годишно. Определете ефективния процент за дневна сложна лихва.

i = (1+) 365 - 1 = 0,115156, т.е. 11%.

Реалният доход на вложителя за 1 rub. инвестираните средства няма да бъдат 10 копейки. (от условието) и 11 копейки. По този начин ефективният лихвен процент по депозита е по-висок от номиналния.

Банката в края на годината плаща 10% годишно по депозитите. Каква е реалната доходност на депозитите при изчисляване на лихвата: а) на тримесечие; б) на всеки шест месеца.

а) i = (1+) 4 - 1 = 0,1038, т.е. 10,38%;

б) i = (1+) 2 - 1 = 0,1025, т.е. 10,25%.

Изчислението показва, че разликата между лихвите е незначителна, но натрупването на 10% годишно на тримесечна база е по-изгодно за инвеститора.

Изчисляването на ефективния лихвен процент във финансовата практика позволява на субектите на финансови отношения да се ориентират в офертите на различни банки и да изберат най-подходящия вариант за инвестиция.

Споразуменията за заем понякога предвиждат промяна в лихвения процент с течение на времето. Това се дължи на промени в договорните условия, предоставянето на обезщетения, налагането на неустойки, както и промяна Общи условиятранзакции, по-специално промяната на лихвения процент във времето (като правило нагоре) е свързана с предотвратяването банкови рискове, възможно в резултат на промени в икономическата ситуация в страната, покачване на цените, обезценяване национална валутаи т.н.

Изчисляването на начислената сума при промяна на лихвения процент във времето може да се извърши както чрез изчисляване на проста лихва, така и на сложна лихва. Схемата за изчисляване на лихвата е посочена във финансовото споразумение и зависи от срока, размера и условията на сделката.

Нека лихвеният процент варира от година на година. За първите n 1 години той ще бъде равен на i 1, n 2 - i 2 и т.н. При изчисляване на проста лихва върху първоначалната сума е необходимо да се съберат лихвените проценти i 1, i 2, in и за сложни, намерете техния продукт.

Формулата за изчисляване на проста лихва е

S = P (1+i 1 t 1 + i 2 t 2 + i 3 t 3 + i n t n) , (7)

където i n е обикновеният лихвен процент; t n е продължителността на периода на начисляване.

През първата година в размер на 10 000 рубли. Начисляват се 10% годишно, във втория - 10,5% годишно, в третия - 11% годишно. Определете размера на погасяването, ако лихвата се плаща годишно.

S = 10 000 (1 + 0,10 1 + 0,105 1 + 0,11 1) \u003d 13 150 рубли;

ΔР = 3 150, търкайте.

Формулата, използвана за изчисляване на сложната лихва е

S = P(1+i 1 t 1) (1+ i 2 t 2) (1+ i 3 t 3) (1+ i n t n) (8)

където i n е сложният лихвен процент; t n - продължителността на периода на неговото начисляване.

През първата година в размер на 10 000 рубли. Начисляват се 10% годишно, във втория - 10,5% годишно, в третия - 11% годишно. Определете сумата за погасяване, ако лихвата е капитализирана.

S = 10 000 (1 + 0,10 1) (1 + 0,105 1) (1 + 0,11 1) \u003d 13 492,05, търкайте.

Дадените примери потвърждават факта, че изчисляването на простата лихва е свързано с определянето на начислената сума спрямо постоянна база, т.е. всяка година (период) лихва се начислява върху една и съща първоначална цена. Ако разгледаме пример 10, тогава в този случай начислената стойност ще бъде:

- за първата година: S 1 = 10 000 (1 + 0,10 1) = 11 000 рубли;

ΔР 1 \u003d 1000, rub.;

- за втора година: S 2 = 10 000 (1 + 0,105 1) = 11 050 рубли;

ΔР 2 \u003d 1050, rub.;

- за третата година: S 3 = 10 000 (1 + 0,11 1) = 11 100 рубли;

ΔР 3 = 1 100, търкайте.

Така размерът на лихвата за 3 години ще бъде:

ΔР = 1,000 + 1,050 + 1,100 = 3,150, търкайте. (виж пример 10).

В случай на изчисляване на сложна лихва, първоначалната сума се променя след всяко начисляване, тъй като лихвите не се плащат, а се натрупват върху главницата, т.е. върху лихвите се начисляват лихви. Помислете за пример 11:

- през първата година: S 1 = 10 000 (1 + 0,10 1) = 11 000 рубли;

- през втората година: S 2 = 11 000 (1 + 0,105 1) = 12 100 рубли;

- през третата година: S 3 = 12100 (1 + 0,11 1) = 13 431, рубли.

По този начин размерът на лихвата за 3 години ще бъде: i 3 = 3,431, рубли. (виж пример 10).

При разработването на условията на договорите или при анализа им понякога се налага решаването на обратни задачи - определяне на срока на операцията или нивото на лихвения процент.

Формулите за изчисляване на продължителността на заема в години, дни и т.н. могат да бъдат изчислени чрез преобразуване на формули (1) и (5).

Срок на кредита (депозит):

t = · 365 . (девет)

Определете за колко време вложителят трябва да постави 10 000 рубли. върху депозит при начисляване на проста лихва в размер на 10% годишно, за да получите 12 000 рубли.

t = ( ) 365 = 730 дни (2 години).

Клиентът има възможност да инвестира 50 000 рубли в банката. за половин година. Определете лихвения процент, който осигурява дохода на клиента в размер на 2000 рубли.

t = ( ) = 0,08 = 8% годишно

По същия начин се определя необходимият срок за завършване на финансова транзакция и нейната продължителност или размерът на необходимия лихвен процент при изчисляване на сложна лихва.

За да се опростят изчисленията, стойностите на коефициента (множителя) на натрупването са представени в приложение. 3.

Формули за начислена сума

Помислете за натрупването за различни случаи на натрупване на наеми.

1. Обикновена рента.

Нека в края на всяка година за Пгодини по разплащателната сметка се внася съглРрубли, лихвата се начислява веднъж годишно по ставкатаи. В този случай първата вноска до края на анюитетния период ще се увеличи до стойност от сумата Рнатрупана лихва n - 1)на годината. Втората вноска ще се увеличи до и т.н. Върху последната вноска не се начислява лихва.

Така в края на срока на анюитета натрупаната му сума ще бъде равна на сумата от членовете на геометричната прогресия

в който е първият членР, знаменател (1+ и), брой членове П.Тази сума е равна на

(1)

където

(2)

Наречен коефициент на натрупване на наем. Зависи от срока на лизинга. Пи нивото на лихвения проценти.

Натрупаната сума на анюитет prenumerando в (1 + и) пъти повече postnumerando и at m =р=1

(3)

Пример 1

За създаване на пенсионен фонд на банката се изплаща годишно анюитет postnumerando в размер на 10 милиона рубли. Лихвите се начисляват върху входящите плащания при комбинирана годишна ставка от 18%. Определете размера на фонда след 6 години.

Решение.

Съгласно формула (1) имаме:

милиона рубли

Отговор. Пенсионен фондслед 6 години ще бъде 99,42 милиона рубли.

2. Анюитет, начисляване на лихви м веднъж годишно.

Нека плащанията се извършват веднъж в края на годината и се начисляват лихви тведнъж годишно. Това означава, че всеки път, когато се прилага тарифатаj/ м, където j - номинален лихвен процент. Тогава условията на анюитета с лихва, начислени преди края на срока, имат формата

Ако прочетем предишния ред отдясно наляво, получаваме геометрична прогресия, чийто първи член R,знаменател (1+ j/ м) м, брой членове П.Сумата на членовете на тази прогресия ще бъде натрупаната сума на анюитета. Тя е равностойна

(4)

Начисленият размер на анюитет prenumerando се изчислява по формулата

(5)

Пример 2

В условията на пример 1 приемете, че банката начислява лихва на тримесечна база с номинална ставка от 18% годишно. Направете извод кой вариант за изчисляване на лихвите е изгоден за кредитора.

Решение.

По формула (4) имаме

= 97,45 милиона рубли

Отговор.Опцията от пример 2.2 е от полза за кредитора, така че лихвите се начисляват върху наема на тримесечие, докато размерът на фонда ще бъде 97,45 милиона рубли.

3. Наемстр - спешно,м = 1.

Намерете натрупаната сума, при условие че наемът е платен Рведнъж годишно на равни вноски, като лихвите се начисляват еднократно в края на годината.

Ако R-годишния размер на плащанията, тогава размерът на отделно плащане е равен наР/ стр. Тогава последователността на плащанията с лихва, начислена преди края на срока, също е геометрична прогресия, записана в обратен ред,

който има първия членР/ стр, знаменател (1+ и) 1/ стр, общ брой членове и т.н.Тогава натрупаният размер на разглежданата рента е равен на сбора от членовете на тази геометрична прогресия

(6)

където

(7)

p-срочен коефициент на натрупване на анюитет в м = 1.

Натрупаната сума на анюитет prenumerando се изчислява по формулата:

(8)

Пример 3

Г-н Иванов плаща 500 рубли на банката в края на всеки месец, като върху входящите плащания се начислява сложна лихва при годишна лихва от 22%. Определете размера на натрупаната сума след 8 години.

Решение.

Използвайки формула (6), намираме размера на натрупаната сума:

S=500 [ (1 + 0,22) 8 - 1 ] / [ (1 + 0,22) 1/8 - 1 ] = 52,806 хиляди рубли

Отговор.Сумата, начислена от банката на г-н Иванов за 8 години, ще бъде 52,806 хиляди рубли.

4. Наем стр -спешно, p = t.

При договорите изчисляването на лихвата и получаването на плащането често съвпадат във времето. Така че броят на плащанията Ргодишно и броя на начислените лихви тмач, т.е. p = t. След това, за да получим формулата за изчисляване на натрупаната сума, използваме аналогията с годишния анюитет и еднократната лихва в края на годината, за която

Единствената разлика ще бъде, че всички параметри вече характеризират ставката и плащането за периода, а не за годината. Така получаваме

(9)

Натрупаната сума на анюитет prenumerando се изчислява по формулата:

(10)

Пример 4

Г-н Петров трябва да изплати дълг от 200 хиляди рубли. За да събере тази сума, той планира да депозира същата сума в банката в края на всеки шест месеца за 3 години, като върху нея се начислява сложна лихва на всеки шест месеца при годишна ставка от 15%. Какъв трябва да бъде размерът на шестмесечните депозити, направени от г-н Петров с начисляване на лихва на половин година? Да разгледаме случая, когато сумата се депозира в банката веднъж в края на всяка година и лихвата се изчислява при същия сложна лихва .

Решение.

От (9) намираме сбора ( Р), който трябва да се изплаща на банката на всеки шест месеца с изчисление на шестмесечна сложна лихва:

R = S j /[ (1 + j/m)мн- 1 ] = 200 × 0,15 / [ (1 + 0,15/ 2) 2 × 3 - 1 ] = 55,228 хиляди рубли

От формула (1) намираме сумата, която трябва да се плаща на банката всяка година с годишна сложна лихва:

Р = С j / [ (1 + j) н - 1 ] = 200 × 0,15 / [ (1 + 0,15) 3 - 1 ] = 57,692 хиляди рубли

Отговор.Г-н Петров трябва да депозира в банката на всеки шест месеца и шест месеца сложна лихва сума, равна на 55,228 хиляди рубли. и сумата от 57,692 хиляди рубли. с годишна вноска и годишна сложна лихва. Първият вариант за инвестиция е по-изгоден за него.

5. Наем Р- спешно, стр ³ 1 , м ³ 1.

Това е най-общият случай Р- срочна рента с начисляване на лихва тведнъж годишно и евентуално Р ¹ Т.

Първият член на анюитетаР/ стр, платени по-късно 1/rгодина след началото, ще бъде до края на срока, заедно с начислените по него лихви

Брой членове П стр. В резултат на това получаваме натрупаната сума

(11)

Начисленият размер на анюитет prenumerando се определя по формулата:

(12)

Пример 5

Предприятието създава застрахователен фонд, за който изпраща плащания на банката в размер на 100 хиляди рубли. в края на всеки 4 месеца банката изчислява сложна лихва веднъж на всеки шест месеца при годишна ставка от 18%. Определете размера осигурителен фондслед 10 години.

Решение.

По формула (11) намираме:

хиляди рубли.

Отговор.Размерът на осигурителния фонд на предприятието след 10 години ще бъде 7790,86 хиляди рубли.

Отстъпка

Настояща стойност (сума за възстановяване)

Лихвен процент

Ориз. 6. Логиката на финансовите транзакции

Математическо дисконтиране

Математическото дисконтиране е формално решение на проблема, обратно на увеличението на първоначалния размер на заема. Задачата в този случай е формулирана по следния начин: каква е първоначалната сума на заема, който трябва да бъде издаден в дълг, за да се получи сумата в края на срока? Спри условие че дългът носи лихва в размер и ? Чрез решаване на уравнението (1) относително П, намираме:

(12)

Стойността, установена по този начин Пе настоящата стойност на сумата Скоито ще бъдат платени чрез нгодини. Израз 1/(1 + n∙i) е наречен множител на отстъпка, което показва настоящата стойност на една валутна единица.

разлика ( С – П) може да се счита не само за начислена лихва П, но и като отстъпка от сумата С. Нека обозначим последното с д. Отстъпката, като отстъпка от крайния размер на дълга, не се определя непременно чрез лихвения процент, може да се определи по споразумение на страните и под формата на абсолютна стойност за целия период.

Помислете за примери.

Пример 8

Година по-късно собственикът на сметка, издадена от търговска банка, трябва да получи по нея 220 хиляди рубли. Каква сума е депозирана в банката при закупуване на записа на заповед, ако годишната ставка е 12%?

Дадено: Решение:

С= 220 тр. Нека представим проблема графично

н= 1 година

и = 12%; н= 1 g

С= 120т.р.

дисконтиране

Използване на израза(12) получаваме:
хиляди рубли.

Пример 9

Заемът трябва да бъде изплатен за една година в размер на 200 хиляди рубли. Кредиторът поиска да изплати заема 270 дни след издаване при 10% годишно. Колко ще получи кредиторът?ДА СЕ = 365 дни

Дадено: Решение:

С= 200 хиляди рубли. Нека представим проблема графично:

н= 1g.

н1 = 270 дни

и = 10%

н = 365-270

С= 200т.р.

дисконтиране

н 1 = 270

н 0 = 95 дни

н = 365

Намерете броя на дните, които остават до погасяването на заема:

н 0 = н – н 1 = 365 - 270 = 95 (дни)

Използване на израза (12) намираме:

(хиляда рубли.)

Банково или търговско счетоводство (отчитане на менителници)

При осчетоводяване на сметка се използва банково счетоводство. При този метод лихвата за ползване на заем се изчислява като отстъпка от дължимата сума в края на срока. При това се прилага отстъпкад. (фиг. 7)

Р дисконтиране (счетоводство) S

Ориз. 7

Отстъпка с помощта на обикновена отстъпка

Формулата за изчисляване на тези проценти се извлича въз основа на следните разсъждения.

Нека от 1 търкайте. взема се годишна счетоводна (отстъпка, авансова) ставка д, тогава длъжникът получава сумата (1- д) и след изтичане на срока трябва да върне 1 rub. Тоест, ако 1 търкайте. е върнатата сума С, тогава първоначалната сума ще бъде равна на: П = С – д(при условие, че периодът е една година), или в нашия случай, П = 1 – д. Ако стойността С, РИ нтогава са произволни

П = С – С ∙ н ∙ д = С ∙ (1 – н ∙ д), (13)

където S∙n∙dе размерът на отстъпката и н- периодът от момента на отчитане до датата на погасяване на сметката. Стойност (1 - n∙d) е наречен множител на отстъпка използвайки дисконтовия процент. Отчитането чрез дисконтовия процент се извършва най-често с времева база К= 360 дни се взема точният брой дни на заема (обикновена лихва с точния брой дни на заема).

За да изясните практическото приложение, помислете за сметка за отстъпка. Използване на деноминацията на банкнотата (С) , отстъпка (д) , оставащо време до падежа (т) , извадете отстъпката (д) – отстъпка от номинална стойност, т.е. разликата между СИ Р.

След това изчислете стойността на обратно изкупуване (фактура) на сметката до падежа

(13а)

Помислете за пример:

Пример 10

Собственикът на сметка с номинал 100 хиляди рубли. и период на обръщение 105 дни., 15 дни. преди датата на падежа се отчита в банката при дисконтов процент от 20%. Определете сумата, получена от собственика на сметката.

Дадено: Решение:

С= 100 хиляди рубли. Нека представим проблема графично:

Пер. обжалване - 105 дни.

н= 15 дни

Р - ? С = 100

н= 15 дни

Използване на израза(13а) получаваме:

(хиляда рубли.)

В някои случаи може да възникне ситуация, когато начисляването на лихва по процент на начисляване се комбинираи и дисконтиране с дисконтов процентд . В този случай сумата, получена по време на счетоводството, се определя като:

P` = П ∙ (1 + н ∙ и) ∙ (1 – n` ∙ д) (14)

С`

къдетоП ( С ) - номинална сума;н - общия срок на задължението за плащане; н ` - периода от момента на отчитане до датата на погасяване на плащането;R` - сумата, получена при отчитане на задължение.

Пример 11.

Дългово задължение, предвиждащо плащане на 400 хиляди рубли. с начислени върху тях 12% годишно, погасими за 90 дни. Собственикът на задължението (кредитор) го отчете в банката за 15 дни. преди падеж при дисконтов процент от 13,5%. Сумата, получена след счетоводството е:

Дадено: Решение:

С= 400 хиляди рубли. В този проблем номиналната стойност

н= 90 дни (възстановима сума) се приема като

н` = 15 дни инициал:С = П (виж графиката).

д = 13,5%

П(С) =400 тр. С`

и = 12%; н= 90 дни

д = 13,5%; н` = 15 дни

дисконтиране

П` -?

1. Първо определяме натрупания размер на задължениетоС ` , като номиналната му стойност за първоначалната сума:

(хиляда рубли.)

2. Намерете сумата, получена след отчитане:

(хиляда рубли.)

3. Използване на израз (14) получаваме същото количество:

(хиляда рубли.)

Необходимостта от използване на обикновен дисконтов процент за изчисляване на натрупаната сума възниква в случай на определяне на номиналната стойност на сметката при издаване на заем. В този случай размерът на дълга, прикрепен към сметката, ще бъде равен на

(15)

Стойност 1/(1- н ∙ д ) в този случай е инкрементален множител когато се използва обикновен процент на отстъпка.

Пример 12.

Предприемачът кандидатства в банката за заем в размер на 200 хиляди рубли. за срок от 55 дни. Банката се съгласява да отпусне определената сума при начисляване на лихва върху обикновен дисконтов процент от 20%. Намерете възстановимата сума.

Дадено: Решение:

Р= 200 хиляди рубли. В този проблем се прави увеличение

н= 55 дни при обикновен дисконтов процент.

Р = 200 С - ?

изградят

д = 20; н= 55 дни

Използване на израза(15) получаваме:

хиляди рубли.

Ако сумата е издадена с обикновена лихва( и ) , тогава натрупаната сума ще бъде равна на хиляди рубли. , т.е. нарастването на сконтовия процент е по-бързо и е по-малко полезно за длъжника 206,111< 206,304 т.е. возвращаемая сумма в первом случае будет больше.

Определянето на срока на кредита при използване на дисконтовия процент се извършва по формулите:

, (16)

, (17)

където н – срокът на кредита в години; т – срок на кредита в дни; к - временна база.

Помислете за пример:

Пример 13

Компанията се нуждае от заем от 500 хиляди рубли. Банката се съгласява да издаде заем, при условие че той бъде върнат в размер на 600 хиляди рубли. Сконтовият процент е 21% годишно. Колко дълго банката ще отпуска заем на компанията?ДА СЕ = 365 дни

Дадено: Решение:

С= 600 хиляди рубли. Графична илюстрация на задачата

Р= 500 хиляди рубли.

Р= 500 тр. С= 600 тр.

д = 20%; н - ?

дисконтиране

При решаване на проблеми от този вид е по-лесно да се използва изразът(17) , тогава срокът на заема веднага ще се окаже в дни (при използване на израза(16) времето ще бъде изразено в части от година):

(дни)

Дисконтовият процент се изчислява по формулите:

, (18)

. (19)

Пример 14

Договор за заем от 500 хиляди рубли. предвижда погасяване на дълга за 300 дни в размер на 600 хиляди рубли. Определете сконтовия процент, прилаган от банката.ДА СЕ = 365 дни.

Дадено: Решение:

Р= 500 хиляди рубли.

С= 600 хиляди рубли.

т= 300 дни

Р= 500 тр. дисконтиране С= 600 тр.

д = ? т= 300 дни

Според формулата(19) получаваме:
илид = 20,27%

При транзакции с дисконтни финансови инструменти дисконтовият процент може понякога да бъде определен имплицитно: под формата на общ относителен дял от деноминацията или като съотношение на дисконтираната сума към номиналната стойност ; тогавад разположен като или

(20)

къдетод ` - процент на отстъпка;т – срок преди отчитане (срок на сметката).

Пример 15

Размерът на удържаната лихва при отпускане на полугодишен заем е 20% от размера на кредита. Нека дефинираме ипотекирания лихвен процент (дисконтовия процент).ДА СЕ = 365

Дадено: Решение:

д` = 20%

т= 0,5 g (180 дни)

ДА СЕ= 365 дни

д - ?

Пример 16

Държавните краткосрочни тримесечни сметки се котират в размер на 90. Нека изчислим сконтовия процент.ДА СЕ =360.

Дадено: Решение:

П / С = 0,9 отстъпка в нашия случай: 1 - 0,9 = 0,1

д - ? тогава:

Контролна домашна работа по финансова математика

1. Определете натрупаната сума на депозита от 3 хиляди рубли. със срок на депозита 2 години при номинална лихва 40% годишно. Лихвите се начисляват: а) веднъж годишно, б) полугодишно, в) тримесечно, г) месечно

Натрупаната сума до края на срока на депозита се определя по формулата:

където m е броят на начислените лихви за година;

n - срок на депозита (в години);

Годишният лихвен процент, посочен в договора за депозит (номинален процент).

Приетият в банките лихвен процент за интервала на начисляване.

а) веднъж годишно:

(хиляда рубли.)

б) до половин година

• (хиляда рубли.)
• в) на тримесечие

• (хиляда рубли.)
• г) месечно.

• (хиляда рубли.)
• 2. Банката приема депозити от населението при номинален лихвен процент от 12% годишно. Изчисляване на лихва ежемесечно. Депозитът от $1200 беше изтеглен след 102 дни. Определете приходите на клиентите

За да изчислим продължителността на една финансова транзакция, вземаме точния брой дни в годината. Продължителността на една финансова транзакция се определя по формулата:

където t е действителният брой дни за финансовата транзакция.

n - срок на депозита (в години).

3. За изграждането на завода банката предостави на компанията заем от $200 хил. за срок от 10 години при ставка от 13% годишно. Изчислете процента на натрупване, размера на натрупаната лихва и цената на заема в края на всяка година

Прост интерес:

Коефициентът на начисляване на проста лихва се определя по формулата:

където

където S 0 - сумата на заема;

n - период за изчисляване на лихвите;

i - номинален лихвен процент.

S 0 - сума на заема;

n - период за изчисляване на лихвите;

i - номинален лихвен процент.

Таблица 1 показва данни за стойността на коефициента на начисляване, размера на лихвата и стойността на кредита в края на всяка година (изчисленията са направени в Microsoft Excel – Приложение А, задача 3).

Таблица 1. Приблизителни данни за коефициента на натрупване, размера на лихвата и стойността на кредита.

	фактор на натрупване	цена на заема, $	процент, $

Сложна лихва:

Коефициентът на натрупване се определя по формулата:

i - номинален лихвен процент.

Размерът на лихвата се изчислява по формулата:

където S е сумата на заема;

n - период за изчисляване на лихвите;

i - номинален лихвен процент.

Стойност на заема в края на периода:

където S n - цената на заема (натрупана стойност);

S 0 - сума на заема;

n - период за изчисляване на лихвите;

i - номинален лихвен процент.

Таблица 2 показва данни за стойността на коефициента на начисляване, размера на лихвата и стойността на заема в края на всяка година (изчисленията са направени в Microsoft Excel).

Таблица 2. Приблизителни данни за коефициента на натрупване, размера на лихвата и стойността на кредита.

	фактор на натрупване	цена на заема, $	процент, $

4. Компанията получи преференциален заем от $50 000 за 3 години при 12% годишно. Лихвата по заема се начислява веднъж годишно. Съгласно условията на споразумението, фирмата има право да плати заема и лихвите еднократно в края на тригодишния период. Колко трябва да плати фирмата при изчисляване на проста и сложна лихва?

Прост интерес:

Сумата на простите лихви се изчислява по формулата:

където S е сумата на заема;

n - период за изчисляване на лихвите;

i - номинален лихвен процент.

Размерът на заема ще бъде:

Размерът на начислената сложна лихва се изчислява по формулата:

където S е сумата на заема,

n - период за изчисляване на лихвите,

i - номинален лихвен процент.

Размерът на заема ще бъде:

5. Производствена и търговска фирма получи заем от 900 хиляди рубли. за срок от 3 години. Лихвата е сложна. Лихвата за първата година е 40% и всяка следваща година се увеличава с 5%. Определете размера на погасяването на кредита

Размерът на погасяването на кредита се определя по формулата:

където S n - размерът на погасяването на кредита в края на периода;

S 0 - сума на заема;

n - период за изчисляване на лихвите;

i - номинален лихвен процент.

Съгласно условието лихвата се увеличава с 5%:

Сумата за погасяване на кредита за 3-та година ще бъде:

6. Определете периода от време, необходим за удвояване на капитала на проста и сложна лихва при лихва от 12% годишно. В последния случай месечна лихва

„Правило 70“ и „Правило 100“ позволяват да се отговори на въпроса за колко години капиталът ще се удвои при лихвен процент i.

Проста лихва („правилото на 100“):

i - лихвен процент.

където Т е периодът, за който капиталът ще се удвои;

i - лихвен процент.

7. Определете периода от време, необходим за утрояване на капитала при проста и сложна лихва при лихвен процент от 48% годишно. В последния случай тримесечно начисляване на лихва

Проста лихва върху утроен капитал:

Сложна лихва, когато капиталът се утрои:

8. Колко време трябва да държите депозит в банка при 84% годишно с месечни, тримесечни и полугодишни лихви, за да се удвои сумата на депозита. метод за банково изчисление

Сложна лихва („Правило на 70“):

където Т е периодът, за който капиталът ще се удвои;

m - честота на изчисляване на лихвите;

i - лихвен процент.

• - месечно начисляване: години.
• - тримесечно начисляване: години.

• - полугодишно начисляване: години.
• 9. Клиентът депозира $1600 за период от 4 месеца. Изчисляване на лихва ежемесечно. След края на мандата той получи $1732. Определете лихвения процент на банката

За определяне на лихвения процент на банката се използва формулата за натрупване на средства по метода на сложната лихва:

j е действителният брой периоди на начисляване на лихва;

n - срок на депозита (в години);

S0 - сумата на депозита към момента на откриване на депозита;

банкова лихва.

От тук лихвеният процент на банката се изчислява по формулата:

Лихвеният процент на банката ще бъде:

10. Какъв трябва да бъде минималният лихвен процент, за да може депозитът да се удвои за една година, когато се начислява лихва: а) тримесечно, б) месечно

Минималният лихвен процент се определя по формулата:

където m е броят на начислените лихви;

n - срок на депозита (в години);

S0 - сумата на депозита към момента на откриване на депозита;

Sm - сумата на депозита към момента на откриване на депозита;

банкова лихва.

а) тримесечно изчисление на лихвите:

б) месечно изчисляване на лихвите:

11. "Приорбанк" предложи на населението за 1996 г. паричен депозит. Доходът от него е 72% годишно за първите 2 месеца, 84% годишно за следващите 2 месеца, 96% годишно за 5 месеца и 108% годишно за 6 месеца. Определете ефективния лихвен процент при внасяне на пари за 6 месеца при определена проста и сложна лихва. В последния случай месечна лихва

Ефективният лихвен процент е процентът, който отразява реалния доход от търговска сделка).

Ефективният лихвен процент, изчислен върху простата лихва, се определя по формулата:

където m е броят на начислените лихви;

n - срок на депозита (в години).

Ефективният лихвен процент, изчислен върху сложната лихва, се определя по формулата:

където m е броят на начислените лихви;

n - срок на депозита (в години).

12. Обява за една търговска банка предлага 84% годишно с месечна лихва. Друга търговска банка предлага 88% годишно с тримесечна лихва. Срокът на депозита е 12 месеца. Коя банка предпочитате?

Изборът между търговските банки ще зависи от процента на начисляване.

Коефициентът на натрупване на сложна лихва се определя по формулата:

където n е периодът за изчисляване на лихвата,

i - номинален лихвен процент.

Предпочитание за банка 1.

13. Сравнете условията на четири банки: а) проста лихва и лихвен процент от 48%; б) номинален лихвен процент - 46 % годишно, лихвата се начислява на шест месеца; в) номинален лихвен процент - 45 %, тримесечно начисляване на лихва; г) номинален лихвен процент -44%, месечно начисляване на лихва

За да се определи най-изгодният вариант, е необходимо да се сравнят предложените условия (всички изчисления се извършват за период от 1 година).

а) проста лихва и лихвен процент от 48%.

Коефициентът на начисляване на проста лихва: .

б) номинален лихвен процент - 46 % годишно, лихвата се начислява на шест месеца.

в) номинален лихвен процент - 45%, начисляване на лихва тримесечно.

Сложен лихвен процент:

г) номинален лихвен процент -44%, месечно начисляване на лихва.

Сложен лихвен процент:

Таблица 3 сравнява условията за вложителя, кредитополучателя и банката (кредитора).

Таблица 3

14. Клиентът направи депозит от 100 хиляди рубли. на срочен депозит за срок от 8 месеца. Лихвата се изчислява месечно, при номинален лихвен процент от 36% годишно. Определете натрупаната сума и ефективния лихвен процент

Натрупаната сума на депозита се определя по формулата за сложна лихва:

S 0 - първоначална сума на депозита;

n - период за изчисляване на лихвите;

i - номинален лихвен процент.

15. Предприятието е получило заем за 3 години при номинален лихвен процент от 40% годишно. Комисионната е 5% от сумата на кредита. Определете ефективния лихвен процент при изчисляване на лихвите: а) веднъж годишно, б) на тримесечие, в) месечно

Ефективната ставка се определя чрез приравняване на бъдещи стойности, с изключение и включване на комисиони:

където m е броят на начислените лихви;

n - срок на кредита (в години);

S - размерът на кредита;

Номинален лихвен процент на банката;

Сумата за плащане на комисионната на банката.

където h - банкова комисионна.

Ефективната ставка се изчислява по формулата:

• - веднъж годишно: ;
• - на тримесечие: ;

• - месечно: .
• 16. Компанията е получила заем за 3 години при годишна лихва от 48%. Комисионната е 5% от сумата на кредита. Определете ефективния лихвен процент на заема, ако: а) заемът е получен по проста лихва, б) получен заем срещу сложна лихва с лихва, начислена веднъж годишно, в) с начисляване на месечна лихва

а) получен заем срещу проста лихва

б) получен заем срещу сложна лихва с лихва, начислена веднъж годишно:

в) заемът е получен при сложна лихва с месечно начисляване на лихва:

17. Компанията получи заем от 40 хиляди рубли. за един месец при годишна лихва от 12%. Интересът е прост. Месечната инфлация е 5,9%. Определете коригирания с инфлацията месечен лихвен процент, начислената сума и парите за лихви

Месечният лихвен процент на банката е:

Месечен банков лихвен процент, коригиран спрямо инфлацията:

където i p - реалния лихвен процент на банката, като се вземе предвид инфлацията;

i - номинален лихвен процент на банката;

n - брой години;

p е темпът на инфлация.

Начисленият размер на заема се определя по простата лихвена формула:

приход на депозитна кредитна банка

18. Компанията кандидатства пред банката за заем от 100 хиляди рубли. за срок от един месец. Банката предоставя такива заеми при обикновена годишна лихва от 24%, без инфлацията. Месечни нива на инфлация за предходните три месеца: 1.8%; 2.4; 2,6%. Кредитът е отпуснат, като се вземе предвид средният процент на инфлация за трите посочени месеца. Определете лихвения процент на банката, коригиран спрямо инфлацията, възвръщаемостта, банковата отстъпка

Инфлация за три месеца:

Среден процент на инфлация на месец:

Натрупана сума за възстановяване:

Лихвените плащания ще възлизат на: rub.

19. Банката отпусна кредит на клиента за 3 месеца. Размер на заема - 24 хиляди рубли. Банката изисква реалната доходност да бъде 12% годишно. Прогнозираната средномесечна инфлация е 3.6%. Определете обикновения лихвен процент на банката, натрупаната сума

Инфлация за годината:

Нивото на инфлация ще бъде: или 53%.

Лихвен процент по заема, коригиран спрямо инфлацията:

r - реална норма на възвръщаемост;

p е темпът на инфлация.

Натрупана сума за възстановяване:

20. Фирмата е взела заем от търговска банка за два месеца при лихва от 30% годишно (без инфлацията). Очакваният среден месечен процент на инфлация е 2%. Определете лихвения процент на заема, като вземете предвид инфлацията и процента на начисляване

Инфлация за годината:

Лихвен процент по заема (формула на Фишер):

Сложен лихвен процент:

Прост коефициент на натрупване на лихва:

21. Заем от 500 хиляди рубли, получен за период от една година при номинална лихва от 18% годишно. Изчисляване на лихва ежемесечно. Очакваната средна месечна инфлация е 3%. Определете лихвения процент на банката, коригиран спрямо инфлацията и начислената сума

Годишният процент на инфлация се изчислява по формулата:

Определете лихвения процент на банката, коригиран спрямо инфлацията:

Начислена сума:

22. Месечните нива на инфлация се очакват от 3%. Определете реалния лихвен процент на възвръщаемост на годишен депозит, ако банките приемат депозити при номинални лихви от 40%, 50%, 60%. Лихвата е сложна и се начислява ежемесечно.

Инфлация за годината:

или 42,58% годишно

Истински лихвен процент:

където i - номинален лихвен процент;

Истински лихвен процент;

процент на инфлация;

Истински лихвен процент за номинален лихвен процент от 40%:

Истински лихвен процент за номинален лихвен процент от 50%:

23. Средната месечна инфлация от януари до юни 1997 г. е 5,9%. Каква трябва да бъде годишната лихва на банката по депозитите, за да се осигури реална възвръщаемост на депозитите от 12% годишно. Лихвата е сложна и се начислява ежемесечно

Номиналният лихвен процент по депозита се определя по формулата:

където i - номинален лихвен процент;

r е реалната доходност на депозита;

процент на инфлация.

24. Търговската банка приема депозити от населението през първата половина на 1997 г. при лихва от 54% годишно. Лихвата се изчислява месечно. Средната месечна инфлация е 5,9%. Определете реалния лихвен процент на възвръщаемост

Реалната лихва на възвръщаемост се определя по формулата:

където i - номинален лихвен процент;

r - реална доходност на депозита;

процент на инфлация.

Налице е амортизация на вноската с 14,77%.

25. Търговските банки приемат депозити от населението "до поискване" при 60% годишно с месечна капитализация на лихвите. Определете истинския лихвен процент на банката, като вземете предвид инфлацията, натрупаната сума и доходността на клиента от депозит от 3 хиляди рубли. след 1 година, ако средният процент на инфлация е 3,5%.

Инфлация за годината:

или 51,11% годишно

Истински лихвен процент:

където i - номинален лихвен процент;

Истински лихвен процент;

процент на инфлация;

m - броят на начислените лихви.

Истински лихвен процент за номинален лихвен процент от 60%:

Начисленият размер на депозита с месечна лихва капитализация се определя по формулата:

където S n - сумата на депозита в края на периода;

S 0 - първоначална сума на депозита;

n - период за изчисляване на лихвите;

истински лихвен процент.

Доходите на инвеститора в края на срока ще бъдат:

където I n - доход на инвеститора за периода n;

n - срок на депозита (в години).

26. Изчислете NPV за инвестиционен проект със следния паричен поток за сравнителен процент от 15% годишно.

Таблица 3

Решение:

Нетната настояща стойност на инвестиционен проект се определя по формулата:

където CF t -- паричен поток (изходящ поток) за период t;

r - процент на сравнение;

n -- жизнен цикъл на проекта.

Таблица 4 показва изчисленията, извършени в Microsoft Excel.

Таблица 4

		коефициент на отстъпка	настоящата стойност на потока

Стойността на NPV за инвестиционния проект е отрицателна. Така че проектът трябва да бъде отхвърлен.

27. Намерете вътрешната норма на възвръщаемост (IRR) за инвестиционен проект със следния редовен паричен поток (-200, -150, 50, 100, 150, 200, 200)

IRR е дисконтовият процент, при който NPV на проекта е нула.

Таблица 5 показва изчисленията, извършени в Microsoft Excel.

Таблица 5

	Разходи I

Вътрешната норма на възвръщаемост е 19%.

28. Сравнете инвестиционни проекти (-50, -50, -45, 65, 85, 85, 20, 20) и (-60, -70, -50, -40, 110, 110, 110, 110), ако годишният лихвата е: а) 10% годишно; б) 15% годишно; в) 20% годишно.

Представените инвестиционни проекти характеризират типичен инвестиционен поток, при който отрицателните плащания предхождат положителните.

Таблица 6 показва изчисленията, извършени в Microsoft Excel.

Инвестиционен поток (-50, -50, -45, 65, 85, 85, 20, 20)

Таблица 6

		коефициент на отстъпка	настоящата стойност на потока		коефициент на отстъпка	настоящата стойност на потока		коефициент на отстъпка	настоящата стойност на потока

Таблица 7 показва изчисленията, извършени в Microsoft Excel.

Инвестиционен поток (-60, -70, -50, -40, 110, 110, 110, 110)

Таблица 7

		коефициент на отстъпка	настоящата стойност на потока		коефициент на отстъпка	настоящата стойност на потока		коефициент на отстъпка	настоящата стойност на потока

При процент от 10% най-ефективният е инвестиционен проект(-60, -70, -50, -40, 110, 110, 110, 110) NPV=66,96 PI=0,34, период на изплащане е 2,91

При ставка от 15% най-ефективният е инвестиционен проект (-50, -50, -45, 65, 85, 85, 20, 20), т.к. NPV=22,26, PI=0,17, период на изплащане е 5,73

При ставка от 20% най-ефективният е инвестиционен проект (-50, -50, -45, 65, 85, 85, 20, 20), т.к. NPV=2,13, PI=0,02, период на изплащане 57,71.

Библиография

• 1. Задачи по финансова математика: учебник / П.Н. Брусов, П.П. Брусов, Н.П. Орехов, С.В. Скородулина - М.: КНОРУС, 2016 - 286 с.
• 2. Катаргин Н.В. Методи на финансови изчисления: Текстове от лекции / Н.В. Катаргин - М.: Финансов университет, Катедра Системен анализ и моделиране на икономически процеси, 2016. - 124 с.
• 3. Кузнецов С.Б. Финансова математика: учебник / С.Б. Кузнецов; РАНЕПА, Сиб. Институт по управление - Новосибирск: Издателство SibAGS - 2014 - 263стр.
• 4. Печенежская И.А. Финансова математика: сборник от задачи / I.A. Печенежская - Ростов n / a: Phoenix, 2010 - 188 стр.
• 5. Финансова математика : учебник /П.Н. Брусов, П.П. Брусов, Н.П. Орехов, С.В. Скородулина - М.: КНОРУС, 2012 - 224 с.