p align="justify"> Процес збільшення грошей у зв'язку з приєднанням відсотків до суми боргу називають нарощенням.
Під нарощеною сумою позички (боргу, депозиту тощо) розуміється її первісна сума разом із нарахованими неї відсотками до кінця терміну.
Процес зміни суми боргу з нарахованими простими відсотками можна як арифметичної прогресії, членами якої є величини
Р; P+Pi =P(1 +i); Р(1 + i) +Pi =P( 1+ 2i) і т. д. до Р(1 + ni).
Перший член цієї прогресії дорівнює Р, Різниця - Pi,тоді останній член є нарощеною сумою
S = P (1 + ni),
де S– нарощена сума грошей;
Р- Початкова сума грошей,
i -ставка найпростіших відсотків;
Pi- нараховані відсотки за період;
n- Число періодів нарахування відсотків;
Pni– нараховані відсотки за пперіодів .
Ця формула є формулою нарощення за простими відсотками, або формулою простих відсотків.
Множник (1 + ni) називається множником нарощення. Він показує у скільки разів нарощена сума більша за початкову суму.
Нарощену суму можна представити у вигляді двох доданків: первісної суми та суми відсотків
S = P+I,
де I = Pni- Сума відсотків.
Нарахування простих відсотків зазвичай використовується у двох випадках:
1) при укладанні короткострокових контрактів (надання короткострокових кредитів тощо), термін яких не перевищує одного року;
2) коли відсотки не приєднуються до суми боргу, а періодично виплачуються.
Ставка відсотків зазвичай встановлюється у розрахунку рік, тому за тривалості операції менше року необхідно з'ясувати, яка частина відсотків сплачується кредитору. Для цього величину пвиражають у вигляді дробу
де п -термін фінансової операції у частках року;
Y- Число днів або місяців у році (тимчасова база) (англ. Year- Рік);
t -термін операції (позички) у днях чи місяцях (англ. time- Час).
У цьому випадку нарощена сума обчислюється за такою формулою:
Можливо кілька варіантів розрахунку відсотків, що відрізняються вибором тимчасової бази Yта способом виміру терміну фінансової операції.
Часто за основу виміру часу беруть рік, що умовно складається з 360 днів (12 місяців по 30 днів у кожному). У цьому випадку кажуть, що обчислюють звичайний, або комерційний відсоток. На відміну від нього точний відсоток отримують, коли за базу беруть дійсну кількість днів на рік: 365 або 366, якщо рік високосний.
Визначення числа днів фінансової операції може бути точним чи наближеним. У першому випадку обчислюють фактичне число днів між двома датами, у другому - тривалість фінансової операції визначається числом місяців та днів операції, наближено вважаючи усі місяці рівними та утримуючими по 30 днів. В обох випадках дата початку та дата закінчення операції вважається за один день.
Підрахунок точного числа днів між двома датами можна здійснити, взявши різницю цих дат, або за допомогою спеціальної таблиці, де представлені порядкові номери дат на рік (дод. 2, 3).
Різні варіанти тимчасової бази та методів підрахунку днів фінансової операції призводять до наступних схем розрахунку відсотків, що застосовуються на практиці:
Точні відсотки з точним числом днів позички (британська схема 365/365, коли у році вважається 365 днів, півріччя дорівнює 182 дням і тривалість місяців точна);
Звичайні відсотки з точним числом днів позички (французька схема 365/360, року приймається 360 днів, і точна тривалість місяців);
Прості відсотки з наближеним числом днів позички (німецька схема 360/360, вважається, що у року 360 днів і 30 днів у місяці).
Оскільки точне число днів позички найчастіше більше наближеного, то величина відсотків із точним числом днів зазвичай більше, ніж із наближеним.
Варіант розрахунку з точними відсотками та наближеним виміром часу позички не застосовується.
Точне та наближене число днів для звичайних відсотків пов'язані наступними залежностями:
i 360 = 0,986301 · i 365 ; i 365 = 1,013889 · i 360 .
Відсоткові ставки не залишаються незмінними в часі, в кредитних угодах іноді передбачаються процентні ставки, що дискретно змінюються. У цьому випадку формула розрахунку нарощеної суми набуває такого вигляду:
де i t- ставка простих відсотків у періоді з номером t, t = 1,…, k;
п t- тривалість tперіоду нарахування за ставкою i t,i = 1,…, k.
Сума депозиту, отримана в кінці зазначеного періоду разом з нарахованими на неї відсотками, може бути інвестована під цю або іншу процентну ставку. Процес інвестування іноді повторюється неодноразово в межах розрахункового терміну N.У разі багаторазового інвестування у короткострокові депозити та застосування простої процентної ставки нарощена сума для всього терміну Nзнаходиться за формулою
де п 1 , п 2 , п t- тривалість послідовних періодів реінвестування
де i 1 ,i 2 , …, i t- Ставки, за якими проводиться реінвестування.
При обслуговуванні поточних рахунків банки стикаються з безперервним ланцюгом надходжень і витрат коштів, а також з необхідністю нарахування відсотків на суму, що постійно змінюється. У банківській практиці у цій ситуації використовується правило - загальна нарахована за весь термін сума відсотків дорівнює сумі відсотків, нарахованих на кожну з постійних на деякому відрізку часу сум. Це стосується дебетової та кредитової частини рахунку. Різниця полягає лише в тому, що кредитові відсотки віднімаються.
Для нарахування відсотків такі постійні суми використовують відсоткові числа:
Процентні числа по кожній постійній сумі складаються та діляться на девізор:
Отже, вся абсолютна сума нарахованих відсотків розраховується так:
Обчислення ставки прибутковості короткострокових фінансових операцій у вигляді ставки простих відсотків здійснюється за такою формулою:
На практиці часто необхідно вирішувати завдання, зворотне нарощенню відсотків, коли за заданою нарощеною сумою, що відповідає закінченню фінансової операції, потрібно знайти вихідну суму . Такий розрахунок називають дисконтуванням нарощеної суми .
Величина, знайдена шляхом дисконтування, називається сучасною величиною або поточною вартістю нарощеної суми.
Найчастіше чинник часу враховується у фінансових контрактах саме з допомогою дисконтування. Сучасна величина грошових коштівеквівалентна нарощеній сумі в тому сенсі, що через певний період часу і при заданій ставці відсотків вона в результаті нарощення стане рівною нарощеній сумі . Тому операцію дисконтування називають також приведенням.
Привести вартість грошей можна до будь-якого потрібного моменту, не обов'язково до початку фінансової операції.
Існує два види дисконтування:
1. Математичне дисконтування, що є рішенням завдання, зворотної нарощенню початкової позички. Якщо у прямому завданні S = P (1 + ni), то у зворотній
Вираз 1/(1+ ni) називають дисконтним множником. Він показує, яку частку складає первісна сума грошей у остаточній величині боргу.
Дисконт нарощеної сумирівний
D = S - Р,
де D- Дисконт.
2. Банківський (комерційний) облік. Операція обліку, у тому числі обліку векселів, полягає в тому, що банк до настання терміну платежу за векселем або іншим платіжним зобов'язанням купує його у власника (що є кредитором) за ціною, нижчою від тієї суми, яка повинна бути виплачена по ньому в кінці терміну, т. .е. набуває (враховує) його з дисконтом.
І тут сучасна величина коштів перебуває
P =S(1 - nd),
де d- Облікова процентна ставка.
Множник (1 - nd) називається дисконтним множником.
Розмір дисконту або обліку, що утримується банком, дорівнює
D = Snd.
Проста річна облікова ставка знаходиться
Дисконтування за обліковою ставкою проводиться у більшості випадків за умови, що рік дорівнює 360 дням.
Приватним випадком є процес банківського обліку, коли термін операції виражений у днях чи місяцях:
Облікова ставка може використовуватись для нарощення:
Операції нарощення і дисконтування протилежні, але можуть використовуватися на вирішення обох завдань. І тут залежно від застосовуваної ставки можна розрізняти пряме і зворотне завдання (таблиця 2.1).
Таблиця 2.1 - Пряме та зворотне завдання
В умовах ринкової економікибудь-яка взаємодія осіб, фірм та підприємств з метою отримання прибутку називається угодою. При кредитних угодах прибуток є величину доходу від надання коштів у борг, що практично реалізується з допомогою нарахування відсотків (відсоткової ставки – i). Відсотки залежать від величини суми, терміну позики, умов нарахування і т.д.
Найважливіше місце у фінансових угодах займає фактор часу (t). З тимчасовим чинником пов'язаний принцип нерівноцінності та нееквівалентності вкладень. Для того щоб визначити зміни, що відбуваються з вихідною сумою грошових коштів (P), необхідно розрахувати величину доходу від надання грошей у позику, вкладення їх у вигляді вкладу (депозиту), інвестуванням їх у цінні папери тощо.
Процес збільшення суми грошей у зв'язку з нарахуванням відсотків (i) називають нарощенням або зростанням початкової суми (P). Таким чином, зміна первісної вартості під впливом двох факторів: процентної ставки та часу називається нарощеною вартістю (S).
Нарощена вартість може визначатися за схемою простих та складних відсотків. Прості відсотки використовуються у разі, коли нарощена сума визначається стосовно незмінної бази, тобто нараховані відсотки погашаються (виплачуються) відразу після нарахування (отже, первісна сума не змінюється); у разі, коли вихідна сума (первинна) змінюється у часовому інтервалі, мають справу зі складними відсотками.
При нарахуванні простих відсотків нарощена сума визначається за формулою
S = P (1 + i t), (1)
де S - нарощена сума (вартість), руб.; P - первісна сума (вартість), руб.; i – відсоткова ставка, що у коефіцієнті; t – період нарахування відсотків.
S = 10000 (1 + 0,13 · 1) = 11300, руб. (Сума погашення кредиту);
ΔР = 11300 - 10000 = 1300, руб. (Сума нарахованих відсотків).
Визначити суму погашення боргу за умови щорічної виплати відсотків, якщо банком видана позичка у сумі 50 000 руб. на 2 роки, за ставки – 16 % річних.
S = 50000 (1 + 0,16 · 2) = 66000, руб.
Таким чином, нарахування простих відсотків здійснюється у разі, коли нараховані відсотки не накопичуються на суму основного боргу, а періодично виплачуються, наприклад, раз на рік, півріччя, квартал, місяць і т. д., що визначається умовами кредитного договору. Також на практиці трапляються випадки, коли розрахунки провадяться за більш короткі періоди, зокрема на одноденній основі.
У разі, коли строк позики (вкладу тощо) менше одного року, у розрахунках необхідно скоригувати задану процентну ставку залежно від тимчасового інтервалу. Наприклад, можна уявити період нарахування відсотків (t) у вигляді відношення , де q - Число днів (місяців, кварталів, півріч і т. Д.) Позики; k – число днів (місяців, кварталів, півріч тощо) у році.
Таким чином, формула (1) змінюється і має такий вигляд:
S = P (1 + i). (2)
Банк приймає вклади на терміновий депозит терміном 3 місяці під 11 % річних. Розрахувати прибуток клієнта при вкладенні 100 000 руб. на вказаний термін.
S = 100 000 (1 + 0,11 ·) = 102 749,9, руб.;
ΔР = 102749,9 - 100000 = 2749,9, руб.
Залежно кількості днів у році можливі різні варіанти розрахунків. У разі, коли за основу виміру часу беруть рік, що умовно складається з 360 днів (12 місяців по 30 днів), обчислюють прості, або комерційні відсотки. Коли за базу беруть дійсну кількість днів на рік (365 або 366 – у високосному році), говорять про точні відсотки.
При визначенні числа днів користування позикою також застосовують два підходи: точний і звичайний. У першому випадку підраховується фактичне число днів між двома датами, у другому – місяць приймається рівним 30 дням. Як у першому, так і в другому випадку день видачі та день погашення вважаються за один день. Існують також випадки, коли в обчисленні застосовується кількість розрахункових або робочих банківських днів, кількість яких на місяць становить 24 дні.
Таким чином, виділяють чотири варіанти розрахунку:
1) прості відсотки з точним числом днів позички;
2) прості відсотки з наближеним числом днів позички;
3) точні відсотки з наближеним числом днів позички;
4) точні відсотки із банківським числом робочих днів.
При цьому необхідно врахувати, що на практиці день видачі та погашення позики (депозиту) приймають за один день.
Позика видана у вигляді 20 000 крб. терміном з 10.01.06 до 15.06.06 під 14% річних. Визначити суму погашення позички.
1. Звичайні відсотки з точним числом днів позички:
156=21+28+31+30+31+15;
S = 20 000 (1 +0,14 ·) = 21 213,3, руб.
2. Звичайні відсотки з наближеним числом днів позички:
S = 20 000 (1 +0,14 ·) = 21 205,6, руб.
3. Точні відсотки з наближеним числом днів позички:
S = 20 000 (1 +0,14 ·) = 21 189,0, руб.
4. Точні відсотки з банківським числом робочих днів:
S = 20 000 (1 +0,14 ·) = 21 516,7, руб.
Дані для розрахунку кількості днів у періоді представлені у дод. 1, 2.
Як сказано вище, крім нарахування простих відсотків застосовується складне нарахування, у якому відсотки нараховуються кілька разів у період і виплачуються, а накопичуються у сумі основного боргу. Цей механізм особливо ефективний при середньострокових та довгострокових кредитах.
Після першого року (періоду) нарощена сума визначається за формулою (1), де i буде річною ставкою складних відсотків. Після двох років (періодів) нарощена сума S 2 становитиме:
S 2 = S 1 (1 + it) = P (1 + it) · (1 + it) = P (1 + it) 2 .
Таким чином, при нарахуванні складних відсотків (після n років (періодів) нарощення) нарощена сума визначається за формулою
S = P (1 + i t) n, (3)
де i - Ставка складних відсотків, виражена в коефіцієнті; n – число нарахувань складних відсотків протягом період.
Коефіцієнт нарощення у разі розраховується за формулою
Кн = (1 + i t) n, (4)
де Кн - коефіцієнт нарощення первісної вартості, од.
Вкладник може помістити кошти у вигляді 75 000 крб. на депозит у комерційний банк на 3 роки під 10% річних.
Визначити суму нарахованих відсотків до кінця строку вкладу при нарахуванні складних відсотків.
S = 75000 (1 + 0,1 · 1) 3 = 99825, руб.
ΔР = 24825, руб.
Таким чином, коефіцієнт нарощення становитиме:
Кн = (1 + 0,1 · 1) 3 = 1,331
Отже, коефіцієнт нарощення показує, у скільки разів збільшилася первісна сума за заданих умов.
Частка розрахунків із використанням складних відсотків у фінансовій практиці досить велика. Розрахунки за правилом складних відсотків часто називають нарахування відсотків на відсотки, а процедуру приєднання нарахованих відсотків – їх реінвестування чи капіталізацією.
Рис. 1. Динаміка збільшення грошових коштів при нарахуванні простих та складних відсотків
Через постійне зростання бази внаслідок реінвестування відсотків зростання первісної суми грошей здійснюється з прискоренням, що наочно представлено на рис. 1.
У фінансовій практиці зазвичай відсотки нараховуються кілька разів на рік. Якщо відсотки нараховуються і приєднуються частіше (m щорічно), має місце m-кратное нарахування відсотків. У такій ситуації за умов фінансової угоди не обумовлюють ставку за період, тому у фінансових договорах фіксується річна ставка відсотків i, на основі якої обчислюють відсоткову ставку за період ( ). При цьому річну ставку називають номінальною, вона є основою для визначення тієї ставки, за якою нараховуються відсотки у кожному періоді, а фактично застосовувану в цьому випадку ставку (() mn) – ефективною, яка характеризує повний ефект (дохід) операції з урахуванням внутрішньорічної капіталізації .
Нарощена сума за схемою ефективних складних відсотків визначається за формулою
S = P (1+) mn, (5)
де i - Річна номінальна ставка,%; (1+) mn - Коефіцієнт нарощення ефективної ставки; m – кількість випадків нарахування відсотків протягом року; mn - Число випадків нарахування відсотків за період.
S = 20 000 (1 +) 4 · 1 = 22 950, руб.
Слід зазначити, що з періоді, рівним 1 року, число випадків нарахування відсотків протягом року відповідатиме кількості випадків нарахування відсотків протягом період. Якщо період становить більше 1 року, тоді n (див. формулу (3)) – відповідатиме цьому значенню.
S = 20 000 (1 +) 4 · 3 = 31 279, 1, руб.
Нарахування складних відсотків також застосовується у випадках обчислення збільшеної на відсотки суми заборгованості, а й за неодноразовому обліку цінних паперів, визначення орендної плати при лізинговому обслуговуванні, визначення зміни вартості грошей під впливом інфляції тощо.
Як говорилося вище, ставку, яка вимірює відносний дохід, отриманий загалом у період, називають ефективною. Обчислення ефективної відсоткової ставки застосовується визначення реальної прибутковості фінансових операцій. Ця доходність визначається відповідною ефективною відсотковою ставкою.
I еф = (1+) mn - 1 . (6)
Кредитна організаціянараховує відсотки на терміновий внесок, Виходячи з номінальної ставки 10% річних. Визначити ефективну ставку за щоденного нарахування складних відсотків.
i = (1+) 365 - 1 = 0,115156, тобто 11%.
Реальний дохід вкладника на 1 руб. вкладених коштів становитиме не 10 коп. (З умови), а 11 коп. Таким чином, ефективна процентна ставка за депозитом вища за номінальну.
Банк наприкінці року сплачує за вкладами 10% річних. Яка реальна доходність вкладів при нарахуванні відсотків: а) щокварталу; б) за півріччя.
а) i = (1+) 4 - 1 = 0,1038, тобто 10,38%;
б) i = (1+) 2 - 1 = 0,1025, тобто 10,25%.
Розрахунок показує, що різниця між ставками незначна, проте нарахування 10% річних щокварталу вигідніше для вкладника.
Розрахунок ефективної процентної ставки у фінансовій практиці дозволяє суб'єктам фінансових відносин орієнтуватися у пропозиціях різних банків та вибрати найбільш прийнятний варіант вкладення коштів.
У кредитних угодах іноді передбачається зміна часу відсоткової ставки. Це викликано зміною контрактних умов, наданням пільг, пред'явленням штрафних санкцій, а також зміною загальних умовугод, зокрема, зміна процентної ставки в часі (як правило, у бік збільшення) пов'язана з запобіганням банківських ризиківможливих в результаті зміни економічної ситуації в країні зростання цін, знецінення національної валютиі т.д.
Розрахунок нарощеної суми при зміні процентної ставки у часі може здійснюватися як нарахуванням простих відсотків, і складних. Схема нарахування відсотків вказується у фінансовій угоді та залежить від терміну, суми та умов операції.
Нехай відсоткову ставку змінюють за роками. Перші n 1 років вона дорівнюватиме i 1 , n 2 – i 2 і т. д. При нарахуванні на початкову суму простих відсотків необхідно скласти процентні ставки i 1 , i 2 , i n , а при складних – знайти їх твір.
При нарахуванні простих відсотків застосовується формула
S = P (1+i 1 t 1 + i 2 t 2 + i 3 t 3 + i n t n) , (7)
де i n - Ставка простих відсотків; t n - Тривалість періоду нарахування.
У перший рік у сумі 10 000 руб. нараховуються 10% річних, на другий – 10,5% річних, на третій – 11% річних. Визначити суму погашення, якщо відсотки виплачуються щороку.
S = 10 000 (1 +0,10 · 1 +0,105 · 1 + 0,11 · 1) = 13 150, руб.;
ΔР = 3150, руб.
При нарахуванні складних відсотків застосовується формула
S = P(1+i 1 t 1)·(1+ i 2 t 2)·(1+ i 3 t 3)·(1+ i n t n) (8)
де i n - Ставка складних відсотків; t n - Тривалість періоду її нарахування.
У перший рік у сумі 10 000 руб. нараховуються 10% річних, на другий – 10,5% річних, на третій – 11% річних. Визначити суму погашення, якщо відсотки капіталізуються.
S = 10 000 (1 +0,10 · 1) · (1 +0,105 · 1) · (1 + 0,11 · 1) = 13 492, 05, руб.
Наведені приклади підтверджують той факт, що нарахування простих відсотків пов'язане з визначенням нарощеної суми по відношенню до незмінної бази, тобто щороку (період) відсотки нараховуються на ту саму початкову вартість. Якщо розглянути приклад 10, то в цьому випадку нарощена вартість становитиме:
- За перший рік: S 1 = 10 000 (1 +0,10 · 1) = 11 000, руб.;
ΔР 1 = 1000, руб.;
- За другий рік: S 2 = 10 000 (1 +0,105 · 1) = 11 050, руб.;
ΔР 2 = 1050, руб.;
- За третій рік: S 3 = 10 000 (1 +0,11 · 1) = 11 100, руб.;
ΔР 3 = 1100, руб.
Таким чином, сума відсотків за 3 роки становитиме:
ΔР = 1000 +1050 +1100 = 3150, руб. (Див. Приклад 10).
У разі нарахування складних відсотків, вихідна сума змінюється після кожного нарахування, тому що відсотки не виплачуються, а накопичуються на основну суму, тобто відбувається нарахування відсотків на проценти. Розглянемо приклад 11:
- У першому році: S 1 = 10 000 (1 +0,10 · 1) = 11 000, руб.;
- У другому році: S 2 = 11000 (1 +0,105 · 1) = 12 100, руб.;
- У третьому році: S 3 = 12100 (1 +0,11 · 1) = 13431, руб.
Таким чином, сума відсотків за 3 роки становитиме: i 3 = 3431, руб. (Див. Приклад 10).
Під час створення умов контрактів чи його аналізі іноді виникає потреба у вирішенні зворотних завдань – визначення терміну операції чи рівня відсоткової ставки.
Формули для розрахунку тривалості позички у роках, днях тощо можна розрахувати, перетворюючи формули (1) і (5).
Термін позички (вкладу):
t = · 365. (9)
Визначити який термін вкладнику помістити 10 000 крб. на депозит при нарахуванні простих відсотків за ставкою 10% річних, щоб отримати 12 000 руб.
t = ( 
) · 365 = 730 днів (2 роки).
Клієнт може вкласти в банк 50 000 руб. на півроку. Визначити відсоткову ставку, що забезпечує дохід клієнта на суму 2 000 крб.
t = ( 
) = 0,08 = 8% річних
Аналогічно визначається необхідний термін закінчення фінансової операції та її протяжність або розмір необхідної процентної ставки при нарахуванні складних відсотків.
Для спрощення розрахунків значення коефіцієнта (множник) нарощення представлені у дод. 3.
Формули нарощеної суми
Розглянемо нарощення для різних випадків нарахування рент.
1. Звичайна річна рента.
Нехай наприкінці кожного року протягом проків на розрахунковий рахунок вноситься поRрублів, відсотки нараховуються один раз на рік за ставкоюi. І тут перший внесок до кінця терміну ренти зросте до величини оскільки у сумі Rвідсотки нараховувалися протягом ( п - 1)року. Другий внесок збільшиться до і т.д. На останній внесок відсотки не нараховуються.
Таким чином, наприкінці терміну ренти її нарощена сума дорівнюватиме сумі членів геометричної прогресії.
у якій перший член дорівнюєR, знаменник (1+ i), кількість членів п.Ця сума дорівнює
(1)
де
(2)
називається коефіцієнтом нарощення ренти. Він залежить лише від терміну ренти пта рівня процентної ставкиi.
Нарощена сума ренти пренумерандо (1 + i) разів більше постнумерандо і при m =p =1
(3)
приклад 1.
Для створення пенсійного фонду в банк щорічно виплачується рента постнумерандо у розмірі 10 млн. р.. На платежі, що надходять, нараховуються відсотки за складною річною ставкою 18%. Визначити розмір фонду за 6 років.
Рішення.
За формулою (1) маємо:
млн. н.
Відповідь. Пенсійний фондчерез 6 років становитиме 99,42 млн. нар.
2. Річна рента, нарахування відсотків m раз на рік.
Нехай платежі роблять один раз наприкінці року, а відсотки нараховують траз на рік. Це означає, що застосовується щоразу ставкаj/ m, де j - номінальна ставка відсотків. Тоді члени ренти з нарахованими до кінця терміну відсотками мають вигляд
Якщо прочитати попередній рядок справа наліво, то отримаємо геометричну прогресію, перший член якої R,знаменник (1+ j/ m) m, кількість членів п.Сума членів цієї прогресії буде нарощеною сумою ренти. Вона дорівнює
(4)
Нарощена сума ренти пренумерандо обчислюється за формулою
(5)
приклад 2.
У разі прикладу 1 прийняти, що відсотки банком нараховуються щокварталу за номінальною ставкою 18% річних. Зробити висновок, який варіант нарахування відсотків є вигідним кредитору.
Рішення.
За формулою (4) маємо
= 97, 45 млн. н.
Відповідь.Кредитору вигідний варіант прикладу 2.2., щоб на ренту нараховувалися відсотки щокварталу, при цьому розмір фонду становитиме 97,45 млн. нар.
3. Рентаp -Термінова,m = 1.
Знайдемо нарощену суму за умови, що рента виплачується рщорічно рівними платежами, а відсотки нараховуються один раз наприкінці року.
Якщо R -річна сума платежів, то розмір окремого платежу дорівнюєR/ p. Тоді послідовність платежів з нарахованими до кінця терміну відсотками також є геометричною прогресією, записаною у зворотному порядку,
у якої перший членR/ p, знаменник (1+ i) 1/ p, загальна кількість членів ін.Тоді нарощена сума розглянутої ренти дорівнює сумі членів цієї геометричної прогресії
(6)
де
(7)
коефіцієнт нарощення р-термінової ренти при m = 1.
Нарощена сума ренти пренумерандо обчислюється за такою формулою:
(8)
Приклад 3.
Пан Іванов вносить до банку наприкінці кожного місяця по 500 р. На суми платежів, що надходять, нараховуються складні відсотки за річною процентною ставкою22%. Визначити розмір нарахованої суми за 8 років.
Рішення.
По форомулі (6) знайдемо розмір нарахованої суми:
S = 500 [ (1 + 0,22) 8 - 1 ] / [ (1 + 0,22) 1/8 - 1 ] = 52,806 тис. н.
Відповідь.Розмір нарахованої банком суми пану Іванову через 8 років становитиме 52,806 тис. нар.
4. Рента p -Термінова, р = т.
У контрактах часто нарахування відсотків та надходження платежу збігаються у часі. Таким чином кількість платежів ру році та кількість нарахувань відсотків тзбігаються, тобто. р = т. Тоді для отримання формули розрахунку нарощеної суми скористаємося аналогією з річною рентою та одноразовим нарахуванням відсотків наприкінці року, на яку
Відмінність буде лише у цьому, що це параметри тепер характеризують ставку і платіж у період, а чи не протягом року. Таким чином, отримуємо
(9)
Нарощена сума ренти пренумерандо обчислюється за такою формулою:
(10)
Приклад 4.
Пан Петров має віддати борг у розмірі 200 тис. нар. Для того, щоб зібрати цю суму, він планує протягом 3-х років наприкінці кожного півроку вносити в банк одну і ту ж суму і на неї кожні півроку нараховуються складні відсотки за річною ставкою 15%. Яка має бути величина внесених паном Петровим піврічних вкладів при піврічному нарахуванні процентів?
Рішення.
З(9) знайдемо суму ( R), яку необхідно вносити до банку кожні півроку при піврічному нарахуванні складних відсотків:
R = S j /[ (1 + j/m)mn- 1 ] = 200 × 0,15 / [ (1 + 0,15/ 2) 2 × 3 - 1 ] = 55,228 тис. н.
З формули (1) знайдемо суму, яку необхідно вносити до банку щороку при річному нарахуванні складних відсотків:
R = S j / [ (1 + j) n - 1 ] = 200 × 0,15 / [ (1 + 0,15) 3 - 1 ] = 57,692 тис. н.
Відповідь.Пану Петрову необхідно вносити в банк кожні півроку та піврічному нарахуванні складних відсотків суму, рівну 55,228 тис. н. і суму 57,692 тис. р. при щорічному вкладі та річному нарахуванні складних відсотків. Перший варіант вкладу йому вигідніший.
5. Рента р-Термінова, p ³ 1 , m ³ 1.
Це найзагальніший випадок р-термінової ренти з нарахуванням відсотків траз на рік, причому, можливо р ¹ т.е.
Перший член рентиR/ p, сплачений через 1/рроку після початку, складе до кінця терміну разом із нарахованими на нього відсотками
Число членів п p. В результаті отримуємо нарощену суму
(11)
Нарощена сума ренти пренумерандо визначається за такою формулою:
(12)
Приклад 5.
Підприємство створює страховий фонд, для чого спрямовує до банку платежі у розмірі 100 тис. нар. наприкінці кожних 4-х місяців, нарахування складних відсотків банк виробляє 1 раз на півроку за річною ставкою 18%. Визначити розмір страхового фондучерез 10 років.
Рішення.
За формулою (11) знайдемо:
тис. руб.
Відповідь.Розмір страхового фонду підприємства через 10 років становитиме 7790,86 тис.р.
Дисконтування
Сучасна вартість (Повертана сума)Процентна ставка
Рис. 6. Логіка фінансових операцій
Математичне дисконтування
Математичне дисконтування є формальне розв'язання завдання, зворотного нарощення початкової суми позички. Завдання у разі формулюється так: яку первісну суму позички треба видати у борг, щоб отримати у кінці терміну суму Sза умови, що на борг нараховуються відсотки за ставкою i ? Розв'язавши рівняння (1) щодо P, знаходимо:
(12)
Встановлена таким шляхом величина Pє сучасною величиною суми S, яка буде виплачена через nроків. Вираз 1/(1+ n∙i) називається дисконтним множникомщо показує сучасну вартість однієї грошової одиниці.
Різниця ( S – P) можна розглядати не тільки як відсотки, що нараховуються на P, але і як дисконт суми S. Позначимо останній через D. Дисконт, як знижка з кінцевої суми боргу необов'язково визначається через відсоткову ставку, може бути встановлений за згодою сторін у вигляді абсолютної величини всього терміну.
Розглянемо приклади.
Приклад 8.
Через рік власник векселі, виданого комерційним банком, має отримати у ньому 220 тис. крб. Яка сума була внесена до банку на момент придбання векселі, якщо річна ставка становить 12%?
Дано: Рішення:
S= 220 УРАХУВАННЯМ. Уявимо завдання графічно
n= 1 рік
i = 12%; n= 1 р.
S= 120т.р.
дисконтування
Використовуючи вираз(12)
отримаємо: 
тис. руб.
Приклад 9.
Позика має бути погашена через рік у сумі 200 тис. руб. Кредитор попросив погасити позику через 270 днів після видачі під 10% річних. Яку суму отримає кредитор?До = 365 дн.
Дано: Рішення:
S= 200 тис. руб. Зобразимо завдання графічно:
n= 1г.
n1 = 270 дн.
i = 10%
n = 365-270
S= 200т.р.
дисконтування
n 1 = 270
n 0 = 95 днів.
n = 365
Знаходимо кількість днів, що залишилися до погашення позички:
n 0 = n – n 1 = 365 - 270 = 95 (дн.)
Використовуючи вираз (12) знаходимо:
(тис. руб.)
Банківський чи комерційний облік (облік векселів)
При обліку векселі застосовується банківський облік. Відповідно до цього методу відсотки використання позики як дисконту нараховуються у сумі, підлягає сплаті наприкінці терміна. При цьому застосовується облікова ставкаd. (Мал. 7)
Р дисконтування (облік) S
Рис. 7
Дисконтування за допомогою простої облікової ставки
Розрахункова формула для обчислення цих відсотків виводиться на основі таких міркувань.
Нехай із 1 руб. береться річна облікова (дисконтна, авансова) ставка dтоді боржник отримує на руки суму (1- d) і після закінчення терміну повинен повернути 1 руб. Тобто, якщо 1 руб. - це сума, що повертається S, То первісна сума дорівнюватиме: P = S – d(за умови, що термін дорівнює одному році), або в нашому випадку, P = 1 – d. Якщо значення S, Рі n- Довільні, то
P = S – S ∙ n ∙ d = S ∙ (1 – n ∙ d), (13)
де S∙n∙d- Величина дисконту, а n- Термін від моменту обліку до дати погашення векселя. Величина (1 – n∙d) називається дисконтним множником під час використання облікової процентної ставки. Облік за допомогою облікової ставки здійснюється найчастіше за тимчасової бази K= 360 днів, число днів позички береться точне (звичайні відсотки із точним числом днів позички).
Для з'ясування практичного застосування розглянемо дисконтний вексель. Використовуючи номінал векселі (S) , облікову ставку (d) , час, що залишився до строку погашення (t) , віднімають дисконт (D) - Знижку з номіналу, тобто. різницю між Sі Р.
Потім розраховують викупну (фактурну) вартість векселі до терміну погашення
(13а)
Розглянемо приклад:
Приклад 10
Власник векселі номіналом 100 тис. руб. та періодом обігу 105 дн., за 15 дн. до настання терміну платежу враховує їх у банку за обліковою ставкою 20%. Визначити суму, одержану власником векселя.
Дано: Рішення:
S= 100 тис. руб. Зобразимо завдання графічно:
Пров. звернення – 105 днів.
n= 15 днів.
Р - ? S = 100
n= 15 днів.
Використовуючи вираз(13а) отримаємо:
(тис. руб.)
В окремих випадках може виникнути ситуація, коли поєднується нарахування відсотків за ставкою нарощенняi та дисконтування за обліковою ставкоюd . У цьому випадку отримана при обліку сума визначитися як:
P` = P ∙ (1 + n ∙ i) ∙ (1 – n` ∙ d) (14)
S`
деP ( S ) – номінальна сума;n - Загальний термін платіжного зобов'язання; n ` - термін від моменту обліку до дати погашення платежу;Р` - сума, одержана при обліку зобов'язання.
Приклад 11.
Боргове зобов'язання, що передбачає сплату 400 тис. руб. з нарахованими ними 12% річних, підлягає погашенню через 90 дн. Власник зобов'язання (кредитор) врахував їх у банку за 15 дн. до настання терміну за обліковою ставкою 13,5%. Отримана сума після обліку склала:
Дано: Рішення:
S= 400 тис. руб. У цьому завданні номінальна вартість
n= 90 днів. (повертається сума) приймається за
n` = 15 днів. початкову:S = P (Див. графік).
d = 13,5%
P(S) =400 УРАХУВАННЯМ. S`
i = 12%; n= 90 днів.
d = 13,5%; n` = 15дн.
дисконтування
P` -?
1. Спочатку визначаємо нарощену суму зобов'язанняS ` , Приймаючи його номінальну вартість за первісну суму:
(тис. руб.)
2. Знаходимо отриману після обліку суму:
(тис. руб.)
3. Використовуючи вираз (14) отримуємо ту ж суму:
(тис. руб.)
Необхідність використання простої облікової ставки до розрахунку нарощеної суми виникає у разі визначення номінальної вартості векселі під час видачі позички. І тут сума боргу, проставлена у векселі, дорівнюватиме
(15)
Величина 1/(1- n ∙ d ) у цьому випадку є множником нарощення під час використання простої облікової ставки.
Приклад 12
Підприємець звернувся до банку за позикою у вигляді 200 тис. крб. терміном 55 днів. Банк згоден видати зазначену суму за умови нарахування відсотків за простий облікової ставки, що дорівнює 20%. Знайти суму, що повертається.
Дано: Рішення:
Р= 200 тис. руб. У цьому завданні нарощення проводиться
n= 55 днів. за простою обліковою ставкою.
Р = 200 S - ?
нарощення
d = 20; n= 55 днів.
Використовуючи вираз(15) отримаємо:
тис. руб.
Якби сума видавалась під просту процентну ставку( i ) , то нарощена сума дорівнювала тис. руб. , тобто. нарощення за обліковою ставкою йде швидше і менш вигідна боржнику 206,111< 206,304 т.е. возвращаемая сумма в первом случае будет больше.
Визначення терміну позички під час використання облікової ставки провадиться за формулами:
, (16)
, (17)
де n -Термін позички в роках; t - Термін позички в днях; k - тимчасова база.
Розглянемо приклад:
Приклад 13
Фірмі необхідний кредит у 500 тис. руб. Банк згоден видачу кредиту за умови, що його буде повернено у вигляді 600 тис. крб. Облікова ставка 21% річних. На який термін банк надасть кредит фірмі?До = 365 днів
Дано: Рішення:
S= 600 тис. руб. Графічна ілюстрація задачі
Р= 500 тис. руб.
Р= 500 УРАХУВАННЯМ. S= 600 УРАХУВАННЯМ.
d = 20%; n - ?
дисконтування
При вирішенні подібних завдань простіше скористатися виразом(17) , Тоді термін кредиту відразу вийде в днях (при використанні виразу(16) термін буде виражений у частках року):
(Дн.)
Розмір облікової ставки розраховується за формулами:
, (18)
. (19)
Приклад 14.
Договір отримання позички в 500 тис. крб. передбачає повернення боргу через 300 днів у сумі 600 тис. руб. Визначимо застосовану банком облікову ставку.До = 365 днів.
Дано: Рішення:
Р= 500 тис. руб.
S= 600 тис. руб.
t= 300 днів
Р= 500 УРАХУВАННЯМ. дисконтування S= 600 УРАХУВАННЯМ.
d = ? t= 300 дн.
За формулою(19)
отримаємо: 
абоd
= 20,27%
При операціях з дисконтними фінансовими інструментами облікова ставка може задаватися неявно: у вигляді загальної відносної частки зменшення номіналу 
або як відношення дисконтованої суми до номіналу 
; тодіd
знаходиться як 
або
(20)
деd ` - Відсоток знижки;t - Термін до обліку (термін векселя).
Приклад 15.
Розмір утримуваних відсотків при видачі піврічної позички становить 20% від суми позички. Визначимо закладену облікову ставку відсотків (дисконтну ставку).До = 365
Дано: Рішення:
d` = 20%
t= 0,5 р. (180 дн.)
До= 365 дн.
d
- ?
Приклад 16.
Державні короткострокові тримісячні векселі котируються за курсом 90. Обчислимо облікову ставку.До =360.
Дано: Рішення:
P / S = 0,9 знижка у разі: 1 – 0,9 = 0,1
d
- ? тоді:
Контрольне домашнє завдання з фінансової математики
1. Визначте нарощену суму вкладу 3 тис. крб. за строку вкладу 2 роки за номінальною процентною ставкою 40% річних. Нарахування відсотків проводиться: а) один раз на рік; б) за півріччями; в) поквартально; г) щомісячно.
Нарощена сума до кінця строку вкладу визначається за такою формулою:
де m – кількість нарахувань відсотків на рік;
n – термін депозиту (у роках);
Вказана у депозитному договорі ставка річних відсотків (номінальна ставка).
Прийнята у банках ставка відсотка за інтервал нарахування.
а) один раз на рік:
(тис. руб.)
б) за півріччями
- (тис. руб.)
- в) поквартально,
- (тис. руб.)
- г) щомісяця.
- (тис. руб.)
- 2. Банк приймає вклади від населення за номінальною процентною ставкою 12% річних. Нарахування відсотків є щомісячним. Вклад 1200 $ було вилучено через 102 дні. Визначте дохід клієнта
Для розрахунку тривалості фінансової операції приймаємо точну кількість днів на рік. Тривалість фінансової операції визначається за такою формулою:
де t – фактична кількість днів із фінансової операції.
n – термін депозиту (у роках).
3. Для будівництва заводу банк надав фірмі кредит у 200 тис. $ терміном на 10 років із розрахунку 13% річних. Проведіть розрахунок коефіцієнта нарощення, суми нарахованих відсотків та вартості кредиту на кінець кожного року
Прості відсотки:
Коефіцієнт нарощення простих відсотків визначається за такою формулою:
де
де S 0 – сума кредиту;
n – період нарахування відсотків;
i – номінальна відсоткова ставка.
S 0 – сума кредиту;
n – період нарахування відсотків;
i – номінальна відсоткова ставка.
У таблиці 1 наведено дані про значення коефіцієнта нарощення, суму відсотків та вартості кредиту на кінець кожного року (розрахунки проведені в Microsoft Excel - Додаток А, завдання 3).
Таблиця 1. Розрахункові дані коефіцієнта нарощення, суми відсотків та вартості кредиту.
|
коефіцієнт нарощення |
вартість кредиту, $ |
відсоток, $ |
|
Коефіцієнт нарощення визначається за такою формулою:
i – номінальна відсоткова ставка.
Сума відсотка розраховується за такою формулою:
де S – сума кредиту;
n – період нарахування відсотків;
i – номінальна відсоткова ставка.
Вартість кредиту наприкінці періоду:
де S n – вартість кредиту (нарощена вартість);
S 0 – сума кредиту;
n – період нарахування відсотків;
i – номінальна відсоткова ставка.
У таблиці 2 наведено дані про значення коефіцієнта нарощення, суму відсотків та вартості кредиту на кінець кожного року (розрахунки проведені в Microsoft Excel).
Таблиця 2. Розрахункові дані коефіцієнта нарощення, суми відсотків та вартості кредиту.
|
коефіцієнт нарощення |
вартість кредиту, $ |
відсоток, $ |
|
4. Фірмі надано пільговий кредит у 50 тис. доларів на 3 роки під 12% річних. Відсотки на кредит нараховуються раз на рік. За умовами договору фірма має право сплатити кредит та відсотки єдиним платежем наприкінці трирічного періоду. Скільки має заплатити фірма при розрахунку за простими та складними відсотками?
Прості відсотки:
Сума простих відсотків розраховується за такою формулою:
де S – сума кредиту;
n – період нарахування відсотків;
i – номінальна відсоткова ставка.
Сума кредиту складе:
Сума нарахованих складних відсотків розраховується за такою формулою:
де S - сума кредиту,
n - період нарахування відсотків,
i – номінальна відсоткова ставка.
Сума кредиту складе:
5. Виробничо-комерційна фірма отримала кредит у 900 тис. руб. терміном три роки. Відсотки – складні. Процентна ставка за перший рік 40%, і кожен наступний рік збільшується на 5%. Визначте суму повернення кредиту
Сума повернення кредиту визначається за такою формулою:
де S n – сума повернення кредиту на кінець періоду;
S 0 – сума кредиту;
n – період нарахування відсотків;
i – номінальна відсоткова ставка.
За умовою процентна ставка зростає на 5%:
Сума повернення кредиту на 3-й рік становитиме:
6. Визначте період часу, необхідний для подвоєння капіталу за простими та складними відсотками за процентною ставкою 12% річних. У разі нарахування відсотків щомісячне
«Правило 70» та «Правило 100» дозволяють відповісти на запитання, за скільки років подвоїться капітал за ставки відсотка i.
Прості відсотки («правило 100»):
i – ставка відсотка.
де Т – період, за який подвоїться капітал;
i – ставка відсотка.
7. Визначте період часу, необхідний для потроєння капіталу за простими та складними відсотками за процентною ставкою 48% річних. В останньому випадку нарахування відсотків квартальне
Прості відсотки при потроєнні капіталу:
Складні відсотки при потроїнні капіталу:
8. Скільки часу потрібно зберігати вклад у банку під 84% річних за щомісячного, поквартального та піврічного нарахування відсотків, щоб сума вкладу подвоїлася. Методика розрахунку банківська
Складні відсотки («правило 70»):
де Т – період, за який подвоїться капітал;
m – періодичність нарахування відсотків;
i – ставка відсотка.
- - Щомісячне нарахування: років.
- - Поквартальне нарахування: років.
- - Піврічне нарахування: років.
- 9. Клієнт вніс на депозит строком на 4 місяці 1600 $. Нарахування відсотків є щомісячним. Після закінчення терміну він отримав 1732 $. Визначте процентну ставку банку
Для визначення процентної ставки банку застосовується формула нарощення коштів шляхом складних відсотків:
j – фактична кількість періодів нарахування відсотків;
n – термін депозиту (у роках);
S0 – величина вкладу в момент відкриття депозиту;
Відсоткову ставку банку.
Звідси процентна ставка банку розраховується за такою формулою:
Процентна ставка банку становитиме:
10. Якою має бути мінімальна процентна ставка, щоб відбулося подвоєння вкладу за рік при нарахуванні відсотків: а) поквартально; б) щомісячно.
Мінімальна процентна ставка визначається за такою формулою:
де m – кількість нарахувань відсотків;
n – термін депозиту (у роках);
S0 – величина вкладу в момент відкриття депозиту;
Sm – величина вкладу в момент відкриття депозиту;
Відсоткову ставку банку.
a) поквартальне нарахування відсотків:
b) щомісячне нарахування відсотків:
11. "Пріорбанк" пропонував населенню на 1996 р. грошовий внесок. Дохід за ним становив за перші 2 місяці 72% річних, за наступні 2 місяці -84, за 5 місяців – 96, за 6 місяців – 108% річних. Визначте ефективну процентну ставку під час розміщення грошей на 6 місяців під зазначені прості та складні відсотки. У разі нарахування відсотків щомісячне
Ефективна ставка відсотка - ставка, що відбиває реальний прибуток від комерційної угоди).
Ефективна відсоткова ставка, розрахована за простими відсотками, визначається за такою формулою:
де m – кількість нарахувань відсотків;
n – термін депозиту (у роках).
Ефективна відсоткова ставка, розрахована за складними відсотками, визначається за такою формулою:
де m – кількість нарахувань відсотків;
n – термін депозиту (у роках).
12. Реклама одного комерційного банку пропонує 84% річних за щомісячного нарахування відсотків. Інший комерційний банк пропонує 88% річних за поквартального нарахування відсотків. Термін зберігання вкладу – 12 місяців. Якому банку віддати перевагу?
Вибір між комерційними банками залежатиме від коефіцієнта нарощення.
Коефіцієнт нарощення складних відсотків визначається за такою формулою:
де n – період нарахування відсотків,
i – номінальна відсоткова ставка.
Перевага Банку 1.
13. Зіставте умови чотирьох банків: а) відсотки прості та відсоткова ставка 48%; b) номінальна процентна ставка – 46% річних, нарахування відсотків відбувається за півріччя; c) номінальна процентна ставка - 45%, нарахування відсотків поквартальне; d) номінальна процентна ставка -44%, нарахування відсотків щомісячне
Для визначення найвигіднішого варіанту необхідно зіставити запропоновані умови (всі розрахунки проводяться на період рівного 1 рік).
a) відсотки прості та відсоткова ставка 48%.
Коефіцієнт нарощення простих процентів: .
b) номінальна процентна ставка – 46% річних, нарахування відсотків відбувається за півріччя.
c) номінальна процентна ставка - 45%, нарахування відсотків поквартальне.
Коефіцієнт нарощення складних відсотків:
d) номінальна процентна ставка –44%, нарахування відсотків щомісячне.
Коефіцієнт нарощення складних відсотків:
У таблиці 3 зіставлені умови для вкладника, позичальника та банку (кредитора).
Таблиця 3
14. Клієнт розмістив внесок у 100 тис. руб. на строковий депозит строком на 8 місяців. Нарахування відсотків є щомісячним, під номінальну процентну ставку 36% річних. Визначте нарощену суму та ефективну процентну ставку
Нарощена сума депозиту визначається за формулою складного відсотка:
S 0 – початкова сума вкладу;
n – період нарахування відсотків;
i – номінальна відсоткова ставка.
15. Підприємство отримало кредит на 3 роки під номінальну процентну ставку 40% річних. Комісійні становлять 5% суми кредиту. Визначте ефективну процентну ставку при нарахуванні відсотків: а) один раз на рік; б) поквартально; в) щомісячно.
Ефективна ставка визначається шляхом прирівнювання майбутніх вартостей без урахування та з урахуванням комісійних:
де m – кількість нарахувань відсотків;
n – термін кредиту (у роках);
S – величина кредиту;
Номінальна процентна ставка банку;
Сума зі сплати комісії банку.
де h – комісія банку.
Ефективна ставка розраховується за такою формулою:
- - один раз на рік: ;
- -Поквартально: ;
- - Щомісячно: .
- 16. Підприємство отримало кредит на 3 роки під річну відсоткову ставку 48%. Комісійні становлять 5% суми кредиту. Визначте ефективну процентну ставку кредиту, якщо: а) кредит отримано під прості відсотки, b) кредит отримано під складні відсотки з нарахування відсотків один раз на рік; c) при щомісячному нарахуванні відсотків
a) кредит отримано під прості відсотки
b) кредит отриманий під складні відсотки з нарахуванням відсотків один раз на рік:
c) кредит отримано під складні відсотки за щомісячного нарахування відсотків:
17. Фірма отримала кредит у 40 тис. руб. на місяць під річну відсоткову ставку 12%. Відсотки прості. Місячний рівень інфляції – 5,9%. Визначте місячну процентну ставку з урахуванням інфляції, нарощену суму та відсоткові гроші
Процентна ставка банку на місяць становить:
Процентна ставка банку на місяць з урахуванням інфляції:
де i р – реальна ставка банку з урахуванням інфляції;
i – номінальна ставка банку;
n – число років;
р – рівень інфляції.
Нарощена сума кредиту визначається за формулою простого відсотка:
депозит кредит банк дохід
18. Фірма звернулася до банку за кредитом у 100 тис. руб. терміном на місяць. Банк виділяє такі кредити під просту річну відсоткову ставку 24% без урахування інфляції. Місячні рівні інфляції за три попередні місяці: 1,8%; 2,4; 2,6%. Кредит виділено з урахуванням середнього рівня інфляції за три зазначені місяці. Визначте процентну ставку банку з урахуванням інфляції, суму повернення, дисконт банку
Рівень інфляції за три місяці:
Середній рівень інфляції на місяць:
Нарощена сума повернення:
Відсоткові виплати становитимуть: крб.
19. Банк надав клієнту кредит на 3 місяці. Сума кредиту – 24 тис. руб. Банк вимагає, щоб реальна ставка доходності була 12% річних. Прогнозований середній місячний рівень інфляції – 3,6%. Визначте просту процентну ставку банку, нарощену суму
Рівень інфляції протягом року:
Темп інфляції становитиме: або 53%.
Процентна ставка кредиту з урахуванням інфляції:
r – реальна ставка прибутковості;
р – рівень інфляції.
Нарощена сума повернення:
20. Фірма взяла кредит у комерційному банку на два місяці під процентну ставку 30% річних (без урахування інфляції). Передбачуваний середній місячний рівень інфляції – 2%. Визначте процентну ставку кредиту з урахуванням інфляції та коефіцієнт нарощення
Рівень інфляції протягом року:
Процентна ставка кредиту (формула Фішера):
Коефіцієнт нарощення складних відсотків:
Коефіцієнт нарощення простих відсотків:
21. Кредит у 500 тис. руб., Отриманий терміном на один рік під номінальну відсоткову ставку 18% річних. Нарахування відсотків є щомісячним. Очікуваний середньомісячний рівень інфляції – 3%. Визначте відсоткову ставку банку з урахуванням інфляції та нарощену суму
Темп інфляції протягом року розраховується за такою формулою:
Визначимо відсоткову ставку банку з урахуванням інфляції:
Нарощена сума:
22. Місячні рівні інфляції очікуються лише на рівні 3%. Визначте справжню відсоткову ставку доходності річного вкладу, якщо банки приймають вклади під номінальні відсоткові ставки 40%, 50%, 60%. Відсотки складні та нараховуються щомісяця.
Рівень інфляції протягом року:
або 42,58% на рік
Справжня процентна ставка:
де i – номінальна відсоткова ставка;
Справжня процентна ставка;
Рівень інфляції;
Справжня процентна ставка для номінальної ставки відсотка 40%:
Справжня процентна ставка для номінальної ставки відсотка 50%:
23. Середній місячний рівень інфляції із січня до червня 1997 р. - 5,9%. Якою має бути річна відсоткова ставка банку за депозитами, щоб забезпечити реальну дохідність вкладів 12% річних? Відсотки складні та нараховуються щомісяця
Номінальна процентна ставка за депозитом визначається за формулою:
де i – номінальна відсоткова ставка;
r- реальна дохідність вкладу;
Рівень інфляції.
24. Комерційний банк приймав вклади від населення першій половині 1997 р. під відсоткову ставку 54% річних. Відсотки нараховуються щомісяця. Середній місячний рівень інфляції – 5,9%. Визначте реальну процентну ставку доходності
Реальна процентна ставка доходності визначається за формулою:
де i – номінальна відсоткова ставка;
r – реальна дохідність вкладу;
Рівень інфляції.
Відбувається знецінення вкладу на 14,77%.
25. Комерційні банки приймають вклади від населення "до запитання" під 60% річних із щомісячною капіталізацією відсотків. Визначте справжню відсоткову ставку банку з урахуванням інфляції, нарощену суму та дохідність клієнта від внеску 3 тис. крб. після закінчення 1 року, якщо середній рівень інфляції 3,5%.
Рівень інфляції протягом року:
або 51,11% на рік
Справжня процентна ставка:
де i – номінальна відсоткова ставка;
Справжня процентна ставка;
Рівень інфляції;
m – кількість нарахувань відсотків.
Справжня процентна ставка для номінальної ставки відсотка 60%:
Нарощена сума депозиту із щомісячною капіталізацією відсотків визначається за формулою:
де S n – сума депозиту в кінці періоду;
S 0 – початкова сума вкладу;
n – період нарахування відсотків;
Справжня процентна ставка.
Дохід вкладника до кінця терміну становитиме:
де I n – дохід вкладника за період n;
n – термін депозиту (у роках).
26. Розрахуйте NPV для інвестиційного проекту з наступним грошовим потокомдля ставки порівняння 15% річних.
Таблиця 3
Рішення:
Чиста наведена вартість інвестиційного проекту визначається за такою формулою:
де CF t - грошовий приплив (відтік) за період t;
r - ставка порівняння;
n - життєвий цикл проекту.
У таблиці 4 наведено розрахунки, виконані Microsoft Excel.
Таблиця 4
|
коефіцієнт дисконтування |
наведена вартість потоку |
||
Значення NPV для інвестиційного проекту набули негативного. Отже, проект слід відкинути.
27. Знайдіть внутрішню норму доходності (IRR) для інвестиційного проекту з наступним регулярним грошовим потоком (-200, -150, 50, 100, 150, 200, 200)
Внутрішня норма доходності IRR - це ставка дисконтування, за якої NPV проекту дорівнює нулю.
У таблиці 5 наведено розрахунки, виконані Microsoft Excel.
Таблиця 5
|
Витрати I |
|||
Внутрішня норма доходності становить 19%.
28. Порівняйте інвестиційні проекти (-50, -50, -45, 65, 85, 85, 20, 20) та (-60, -70, -50, -40, 110, 110, 110, 110), якщо річна ставка відсотків становить: а) 10% річних; б) 15% річних; в) 20% річних.
Подані інвестиційні проекти характеризують собою типовий інвестиційний потік, негативні платежі передують позитивним.
У таблиці 6 наведено розрахунки, виконані Microsoft Excel.
Інвестиційний потік (-50, -50, -45, 65, 85, 85, 20, 20)
Таблиця 6
|
коефіцієнт дисконтування |
наведена вартість потоку |
коефіцієнт дисконтування |
наведена вартість потоку |
коефіцієнт дисконтування |
наведена вартість потоку |
|||||
У таблиці 7 наведено розрахунки, виконані Microsoft Excel.
Інвестиційний потік (-60, -70, -50, -40, 110, 110, 110, 110)
Таблиця 7
|
коефіцієнт дисконтування |
наведена вартість потоку |
коефіцієнт дисконтування |
наведена вартість потоку |
коефіцієнт дисконтування |
наведена вартість потоку |
|||||
При ставці 10% найефективнішим є інвестиційний проект(-60, -70, -50, -40, 110, 110, 110, 110), т.к. NPV=66,96 PI=0,34, період окупності становить 2,91
При ставці 15% найефективнішим є інвестиційний проект (-50, -50, -45, 65, 85, 85, 20, 20), т.к. NPV=22,26, PI=0,17, період окупності становить 5,73
При ставці 20% найефективнішим є інвестиційний проект (-50, -50, -45, 65, 85, 85, 20, 20), т.к. NPV=2,13, PI=0,02, період окупності 57,71.
Список літератури
- 1. Завдання з фінансової математики: навчальний посібник/П.М. Брусів, П.П. Брусів, Н.П. Оріхів, С.В. Скородуліна – М.: КНОРУС, 2016 – 286 с.
- 2. Катаргін Н.В. Методи фінансових розрахунків: Тексти лекцій/Н.В. Катаргін – М.: Фінансовий університет, кафедра «Системний аналіз та Моделювання економічних процесів», 2016. – 124 с.
- 3. Кузнєцов С.Б. Фінансова математика: навчальний посібник/С.Б. Кузнєцов; РАНХіГС, Сиб. ін-т управління – Новосибірськ: Вид-во СибАГС – 2014 – 263с.
- 4. Печенізька І.А. Фінансова математика: збірник завдань/І.А. Печенізька – Ростов н/Д: Фенікс, 2010 – 188 с.
- 5. Фінансова математика: навчальний посібник/П.Н. Брусів, П.П. Брусів, Н.П. Оріхів, С.В. Скородуліна – М.: КНОРУС, 2012 – 224 с.